(山东 理16)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 18:34:01
(山东 理16)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[–8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .
【解析】因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)= f(x)且f(0)=0,所以函数图象关于直线x=2对称.
由f(x-4)=-f(x),用(x-4)代换x,知f(x-8)= f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[–2,0]上也是增函数,如下图所示.
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那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4.不妨设x1<x2<x3<x4,由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.
【请问 解析中 “ 因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)= f(x)且f(0)=0,所以函数图象关于直线x=2对称.” 为什么? 关于抽象函数对称轴问题有没有什么模板可言?当初听老师讲的时候隐约记得有个x=(a+b)/2...套用来好像又不对...求详解 然后“满足f(x-4)=-f(x)”而且必须是奇函数才能用x=(a+b)/2么 那偶函数何解?】
【解析】因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)= f(x)且f(0)=0,所以函数图象关于直线x=2对称.
由f(x-4)=-f(x),用(x-4)代换x,知f(x-8)= f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[–2,0]上也是增函数,如下图所示.
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那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4.不妨设x1<x2<x3<x4,由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.
【请问 解析中 “ 因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)= f(x)且f(0)=0,所以函数图象关于直线x=2对称.” 为什么? 关于抽象函数对称轴问题有没有什么模板可言?当初听老师讲的时候隐约记得有个x=(a+b)/2...套用来好像又不对...求详解 然后“满足f(x-4)=-f(x)”而且必须是奇函数才能用x=(a+b)/2么 那偶函数何解?】
抽象函数对称轴问题f(m+x)=f(m-x)函数就关于x=m对称!可以从偶函数的图像平移来考虑!
f(4-x)= f(x)中设x=x+2就得到结论
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定义在r上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间
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高中数学函数! 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方
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