求{[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3}^n在n趋向无穷大时的极限,运用数学分析中两个重要的极限~
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 16:31:08
求{[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3}^n在n趋向无穷大时的极限,运用数学分析中两个重要的极限~
令:t=[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3
lim(n->∞) t = 0
lim(n->∞) t*n
lim(n->∞) [a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3 * n
=lim(n->∞) {a^(1/n)-1}+{b^(1/n)-1}+{c^(1/n)-1} * n/3
=lim {a^(1/n)-1}*n/3+lim {b^(1/n)-1}*n/3+lim {c^(1/n)-1} *n/3
【等价无穷小量代换:a^(1/n)-1 lna*(1/n)】
=lim lna*(1/n)*n/3+lim lnb*(1/n)*n/3+lim lnc*(1/n)*n/3
= ln(abc) /3
∴lim(n->∞) {[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3}^n
=lim(n->∞) { 1 + [a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3}^n
=lim(n->∞) {(1 +t)^(1/t)}^t*n
= e^(ln(abc) /3)
= (abc)^(1/3)
lim(n->∞) t = 0
lim(n->∞) t*n
lim(n->∞) [a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3 * n
=lim(n->∞) {a^(1/n)-1}+{b^(1/n)-1}+{c^(1/n)-1} * n/3
=lim {a^(1/n)-1}*n/3+lim {b^(1/n)-1}*n/3+lim {c^(1/n)-1} *n/3
【等价无穷小量代换:a^(1/n)-1 lna*(1/n)】
=lim lna*(1/n)*n/3+lim lnb*(1/n)*n/3+lim lnc*(1/n)*n/3
= ln(abc) /3
∴lim(n->∞) {[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3}^n
=lim(n->∞) { 1 + [a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3}^n
=lim(n->∞) {(1 +t)^(1/t)}^t*n
= e^(ln(abc) /3)
= (abc)^(1/3)
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