大师作文网数列如何求和?（如1、3、6、10、15作为一个数列.就是公差递增的数列?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 18:45:27
数列如何求和?（如1、3、6、10、15作为一个数列.就是公差递增的数列?
先把它的通项求出：
a2-a1=2
a3-a2=3
……
an-a[n-1]=n
以上所有式子叠加得到：
an-1=2+3+……+n
an=1+2+……+n=1/2n^2+1/2n
现在有一个重要的公式,就是通项为n^2的数列的求和,其前n项和S为n(n+1)(2n+1)/6
我们现在简单证明一下.
我们都知道(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1→(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
2^3-1^3=3×1^2+3×1+1
3^3-2^3=3×2^2+3×2+1
……
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
以上所有式子叠加得到:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+……+n^2)+3(1+2+……+n)+n
之后再化简,因式分解即可得如上的前n项和公式
知道这个公式后,对其通项求和：
Sn=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4=n(n+1)(n+2)/6
再问： 那有没有一个求和公式是对于所有的公差递增数列求和都成立的？
再答： 这个可以有 设一个数列首项为a1,第二项与第一项的差(公差的第一项)为k，公差成等差数列，设公差的公差为d a2-a1=k, a3-a2=k+d …… an-a[n-1]=k+(n-2)d 叠加得: an-a1=(n-1)k+(n-1)(n-2)/2d an=d/2n^2+(k-3d/2)n+a1+d-k 套等差数列与平方数数列的求和公式得： Sn=dn(n+1)(2n+1)/12+(k-3/2d)(n+1)n/2+n(a1+d-k)
a2-a1=2
a3-a2=3
……
an-a[n-1]=n
以上所有式子叠加得到：
an-1=2+3+……+n
an=1+2+……+n=1/2n^2+1/2n
现在有一个重要的公式,就是通项为n^2的数列的求和,其前n项和S为n(n+1)(2n+1)/6
我们现在简单证明一下.
我们都知道(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1→(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
2^3-1^3=3×1^2+3×1+1
3^3-2^3=3×2^2+3×2+1
……
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
以上所有式子叠加得到:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+……+n^2)+3(1+2+……+n)+n
之后再化简,因式分解即可得如上的前n项和公式
知道这个公式后,对其通项求和：
Sn=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4=n(n+1)(n+2)/6
再问： 那有没有一个求和公式是对于所有的公差递增数列求和都成立的？
再答： 这个可以有 设一个数列首项为a1,第二项与第一项的差(公差的第一项)为k，公差成等差数列，设公差的公差为d a2-a1=k, a3-a2=k+d …… an-a[n-1]=k+(n-2)d 叠加得: an-a1=(n-1)k+(n-1)(n-2)/2d an=d/2n^2+(k-3d/2)n+a1+d-k 套等差数列与平方数数列的求和公式得： Sn=dn(n+1)(2n+1)/12+(k-3/2d)(n+1)n/2+n(a1+d-k)