设f(x)的一阶导在(a,b)内存在且有界,证明f(x)在(a,b)内有界
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/08 03:40:57
设f(x)的一阶导在(a,b)内存在且有界,证明f(x)在(a,b)内有界
用反证法:如果f(x)在(a,b)内无界,证明f′也无界.
取M>0找C∈(a,b),f′(c)>M即可.
取d∈(a,b),(ad],[db)中,必有一个使f无界.不妨设为[d,b).
令N=(M+1)×(b-d)+|f(d)|.
存在e∈[d,b)使f(e)>N.在[d,e]上用Lagrange公式.存在c∈(d,e).
f(e)-f(d)=f′(c)(e-d).
f′(c)={f(e)-f(d)}/(e-d)>{N-f(d)}/(e-d)
≥{N-f(d)}/(b-d)≥M+1>M.
∴f′(x)在(a,b)无界,矛盾.
∴f(x)在(a,b)有界.
取M>0找C∈(a,b),f′(c)>M即可.
取d∈(a,b),(ad],[db)中,必有一个使f无界.不妨设为[d,b).
令N=(M+1)×(b-d)+|f(d)|.
存在e∈[d,b)使f(e)>N.在[d,e]上用Lagrange公式.存在c∈(d,e).
f(e)-f(d)=f′(c)(e-d).
f′(c)={f(e)-f(d)}/(e-d)>{N-f(d)}/(e-d)
≥{N-f(d)}/(b-d)≥M+1>M.
∴f′(x)在(a,b)无界,矛盾.
∴f(x)在(a,b)有界.
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