微积分题的证明设f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且满足f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 10:29:47
微积分题的证明
设f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且满足f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)>0.试证明存在d属于(a,b)使f(d)=f''(d)
参考答案上只有提示,说是两次构造函数,先设F(x)=f(x)e^(-x),再设G(x)=F(x)e^x,用罗尔定理。但是依然没思路啊。
设f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且满足f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)>0.试证明存在d属于(a,b)使f(d)=f''(d)
参考答案上只有提示,说是两次构造函数,先设F(x)=f(x)e^(-x),再设G(x)=F(x)e^x,用罗尔定理。但是依然没思路啊。
下面两种方法
证明1
先用反证法证明存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0
若不存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0,则在区间(a,b)内恒有f(x)>0(或f(x)0,x∈(a,b)则
f'(b)=(x→b-)lim[f(b)-f(x)]/(b-x)=(x→b-)lim[-f(x)]/(b-x)≤0.①
f'(a)=(x→a+)lim[f(x)-f(a)]/(x-a)=(x→a+)limf(x)/(x-a)≥0.②
则f'(a)f'(b)≤0这与题设矛盾,因此必存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0
可知g(x)=f(x)e^(-x)在[a,θ]及[θ,b]上满足罗尔定理
则存在θ1∈(a,θ),θ2∈(θ,b)使得g'(θ1)=g'(θ2)=0
由于g'(x)=[f(x)-f'(x)]e^(-x),得f(θ1)-f'(θ1)=0,f(θ2)-f'(θ2)=0
再记F(x)=[f(x)-f'(x)]e^x,则易知F(x)在[θ1,θ2]满足罗尔定理
则存在d∈(θ1,θ2),使得F'(d)=0
又F'(x)=[f'(x)-f“(x)+f(x)-f'(x)]e^x=[f(x)-f"(x)]e^x
即有f(d)-f"(d)=0得证.
证明2
证明1
先用反证法证明存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0
若不存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0,则在区间(a,b)内恒有f(x)>0(或f(x)0,x∈(a,b)则
f'(b)=(x→b-)lim[f(b)-f(x)]/(b-x)=(x→b-)lim[-f(x)]/(b-x)≤0.①
f'(a)=(x→a+)lim[f(x)-f(a)]/(x-a)=(x→a+)limf(x)/(x-a)≥0.②
则f'(a)f'(b)≤0这与题设矛盾,因此必存在一点θ∈(a,b)使得f(θ)=0
可知g(x)=f(x)e^(-x)在[a,θ]及[θ,b]上满足罗尔定理
则存在θ1∈(a,θ),θ2∈(θ,b)使得g'(θ1)=g'(θ2)=0
由于g'(x)=[f(x)-f'(x)]e^(-x),得f(θ1)-f'(θ1)=0,f(θ2)-f'(θ2)=0
再记F(x)=[f(x)-f'(x)]e^x,则易知F(x)在[θ1,θ2]满足罗尔定理
则存在d∈(θ1,θ2),使得F'(d)=0
又F'(x)=[f'(x)-f“(x)+f(x)-f'(x)]e^x=[f(x)-f"(x)]e^x
即有f(d)-f"(d)=0得证.
证明2
微积分题的证明设f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且满足f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b
◆微积分 证明 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,f(a) = 0...
【中值定理证明题】设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f((a+b)/
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2)
设f‘(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:|∫b a f(x)dx|
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b)=0,证明存在c属于(a,b),使f'(c)+f(c
设f(x)在[a,b]上具有二阶导数 且f(a)=f(b)=0 f'(a)f'(b)>0 证明 至少存在一点
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)在(a,b]
设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a
微积分中值定理问题设函数在f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,试证明在(a,b)上
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f(x)可导且f(x)≠0,f(b)=f(a)=0.试证对任意的实数α,存在
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)f(b)<0,f'(c)=0.a