设a为方程x^3-3x^2+1=0的最大正根.证明:17|[a^2012]

设a为方程x^3-3x^2+1=0的最大正根.证明:17|[a^2012]
RT

设f(x) = x³-3x²+1.
可算得f(3) = 1 > 0,f(1) = -1 < 0,f(0) = 1 > 0,f(-1) = -3 < 0.
于是f(x) = 0在区间(1,3),(0,1),(-1,0)内分别存在实根.
而f(x) = 0至多只有3个实根,因此在上述区间内各有一个.
分别记为a,b,c,有-1 < c < 0 < b < 1 < a < 3..
由根与系数关系,有a+b+c = 3,ab+bc+ca = 0,abc = -1.
于是a²+b²+c² = (a+b+c)²-2(ab+bc+ca) = 9.
a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)+3abc = 24.
考虑数列u[n] = a^n+b^n+c^n,有u[1] = 3,u[2] = 9,u[3] = 24.
对n > 3,u[n] = a^n+b^n+c^n
= (a+b+c)(a^(n-1)+b^(n-1)+c^(n-1))-(ab^(n-1)+ac^(n-1)+ba^(n-1)+bc^(n-1)+ca^(n-1)+cb^(n-1))
= (a+b+c)u[n-1]-(ab+bc+ca)(a^(n-2)+b^(n-2)+c^(n-2))+abc(a^(n-3)+b^(n-3)+c^(n-3))
= (a+b+c)u[n-1]-(ab+bc+ca)u[n-2]+abc·u[n-3]
= 3u[n-1]-u[n-3].
由此递推式可逐次计算u[n] mod 17,从u[1] mod 17开始依次为:
3,9,7,1,11,9,9,16,5,6,2,1,14,6,0,3,
3,9,7,...
因为u[n]是常系数三阶递推,可知从u[17] mod 17开始出现循环,即u[n] mod 17以16为周期.
于是u[2012] ≡ u[12] ≡ 1 (mod 17).
即a^2012+b^2012+c^2012 ≡ 1 (mod 17).
由b < 1,3b² = 1+b³ < 2,得b² < 2/3.
于是0 < b^2012 < b^4 < 4/9 < 1/2.
由c < 0,3c² = 1+c³ < 1,得0 < c^2012 < c² < 1/3.
故a^2012+b^2012+c^2012-1 < a^2012 < a^2012+b^2012+c^2012.
而a^2012+b^2012+c^2012-1是整数,所以[a^2012] = a^2012+b^2012+c^2012-1.
有[a^2012] = a^2012+b^2012+c^2012-1 ≡ 0 (mod 17).
即17 | [a^2012].
注:(1) 其实u[n] = (a+b+c)u[n-1]-(ab+bc+ca)u[n-2]+abc·u[n-3]是Newton恒等式的特例.
(2) 从线性递推数列的角度看,u[n] = 3u[n-1]-u[n-3]对应的特征多项式就是f(x) = x³-3x²+1.
因此通项公式具有r·a^n+s·b^n+t·c^n的形式,系数r,s,t由初始值确定.
(3) 三阶递推数列mod 17的余数的周期最长可能为17³-1,要是这样就没法做了.