用数学归纳法证明(1+2+3+n)(1+1/2+1/3+.1/n)≥n2+n-1
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 19:14:38
用数学归纳法证明(1+2+3+n)(1+1/2+1/3+.1/n)≥n2+n-1
对大于2的一切正整数n,下列不等式都成立
(1+2+3+.........+n)(1+1/2+1/3+........1/n)≥n的平方+n-1
对大于2的一切正整数n,下列不等式都成立
(1+2+3+.........+n)(1+1/2+1/3+........1/n)≥n的平方+n-1
(1)n=3
左=(1+2+3)(1+1/2+1/3)=6*(1+1/2+1/3)=6+3+2=11
右=3*3+3-1=11
所以,n=3时不等式成立
(2)假设n=k(k≥3)时,不等式成立
即(1+2+3+.+k)(1+1/2+.+1/k)≥k²+k-1
当n=k+1时,
左=[1+2+3+.+k+1/(k+1)]*[1+1/2+.+1/k+1/(k+1)]
=(1+2+3+.+k)(1+1/2+.+1/k)+(1+2+3+.+k)*(1/k+1)+(k+1)*[1+1/2+.+1/k+1/(k+1)]
≥k²+k-1+k(k+1)/2* (1/k+1)+(k+1)[1+1/2+1/(k+1)]
=k²+k-1+k/2+k+1+(k+1)/2+1
>k²+k-1+k/2+k+1+k/2+1
=k²+3k+1
=(k+1)²+(k+1)-1
所以 n=k+1时,不等式也成立
所以 对大于2的一切正整数n,不等式都成立
左=(1+2+3)(1+1/2+1/3)=6*(1+1/2+1/3)=6+3+2=11
右=3*3+3-1=11
所以,n=3时不等式成立
(2)假设n=k(k≥3)时,不等式成立
即(1+2+3+.+k)(1+1/2+.+1/k)≥k²+k-1
当n=k+1时,
左=[1+2+3+.+k+1/(k+1)]*[1+1/2+.+1/k+1/(k+1)]
=(1+2+3+.+k)(1+1/2+.+1/k)+(1+2+3+.+k)*(1/k+1)+(k+1)*[1+1/2+.+1/k+1/(k+1)]
≥k²+k-1+k(k+1)/2* (1/k+1)+(k+1)[1+1/2+1/(k+1)]
=k²+k-1+k/2+k+1+(k+1)/2+1
>k²+k-1+k/2+k+1+k/2+1
=k²+3k+1
=(k+1)²+(k+1)-1
所以 n=k+1时,不等式也成立
所以 对大于2的一切正整数n,不等式都成立
用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2.
用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2
用数学归纳法证明(2^n-1)/(2^n+1)>n/(n十1)(n≥3,n∈N+)
用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=n(2n+1)
用数学归纳法证明(2^3n)-1 (n属于N*)能被7整除
用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)在线等
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)
用数学归纳法证明:-1+3-5+...+(-1)n*(2n-1)=(-1)n*n
数学归纳法证明 < {(n+1)/2 }的n 次方
用数学归纳法证明:若n≥4且n∈N*,则2^(n+1)≥n^2+3n+2
用数学归纳法证明:2的n次方>2n+1(n∈N*,n≥3)