(2011•杭州一模)已知函数f(x)=ax2+lnx(a∈R)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/30 22:19:51
(2011•杭州一模)已知函数f(x)=ax2+lnx(a∈R)
(1)当a=
(1)当a=
1 |
2 |
(1)当a=
1
2时,f(x)=
1
2x2+lnx,f′(x)=x+
1
x=
x2+1
x;
对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数,
∴fmax(x)=f(e)=1+
e2
2,fmin(x)=f( 1 )=
1
2.
(2)①在区间(1,+∞)上,函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”,则f1(x)<f(x)<f2(x)
令p(x)=f(x)−f2(x)=(a−
1
2)x2−2ax+lnx<0,对x∈(1,+∞)恒成立,
且h(x)=f1(x)-f(x)=−
1
2x2+2ax−a2lnx<0对x∈(1,+∞)恒成立,
∵p′(x)=(2a−1)x−2a+
1
x=
(2a−1)x2−2ax+1
x=
(x−1)[(2a−1)x−1]
x
1)若a>
1
2,令p′(x)=0,得极值点x1=1,x2=
1
2a−1,
当x2>x1=1,即
1
2<a<1时,在(x2,+∞)上有p′(x)>0,
此时p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有p(x)∈(p(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有p(x)∈(p(1),+∞),也不合题意;
2)若a≤
1
2,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有p′(x)<0,
从而p(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
要使p(x)<0在此区间上恒成立,只须满足p(1)=−a−
1
2≤0⇒a≥−
1
2,
所以−
1
2≤a≤
1
2.
又因为h′(x)=-x+2a-
a2
x=
−x2+2ax−a2
x=
1
2时,f(x)=
1
2x2+lnx,f′(x)=x+
1
x=
x2+1
x;
对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数,
∴fmax(x)=f(e)=1+
e2
2,fmin(x)=f( 1 )=
1
2.
(2)①在区间(1,+∞)上,函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”,则f1(x)<f(x)<f2(x)
令p(x)=f(x)−f2(x)=(a−
1
2)x2−2ax+lnx<0,对x∈(1,+∞)恒成立,
且h(x)=f1(x)-f(x)=−
1
2x2+2ax−a2lnx<0对x∈(1,+∞)恒成立,
∵p′(x)=(2a−1)x−2a+
1
x=
(2a−1)x2−2ax+1
x=
(x−1)[(2a−1)x−1]
x
1)若a>
1
2,令p′(x)=0,得极值点x1=1,x2=
1
2a−1,
当x2>x1=1,即
1
2<a<1时,在(x2,+∞)上有p′(x)>0,
此时p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有p(x)∈(p(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有p(x)∈(p(1),+∞),也不合题意;
2)若a≤
1
2,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有p′(x)<0,
从而p(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
要使p(x)<0在此区间上恒成立,只须满足p(1)=−a−
1
2≤0⇒a≥−
1
2,
所以−
1
2≤a≤
1
2.
又因为h′(x)=-x+2a-
a2
x=
−x2+2ax−a2
x=
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx,a∈R
(2014•安阳一模)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+x,a∈R.
已知函数f(x)=ax2+bx-lnx,a,b∈R.
已知函数f(x)=12ax2+(1-a)x-1-lnx,a∈R.
函数f(x)=lnx-ax2(a∈R).
(2014•杭州二模)设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),e为自然对数的底数.若f′(x)lnx>f(x)x
已知函数f(x)=2分之1ax2-lnx a∈R 1.求函数f(x)的单调区间 2.若函
(2011•深圳一模)已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
(2014•西城区一模)已知函数f(x)=lnx-ax,其中a∈R.
已知函数f(x)=lnx+ax2-2bx(a,b∈R),g(x)=2x−2x+1-clnx.
(2011•杭州二模)已知函数f(x)=12x2+(a−3)x+lnx.