如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,点P为椭圆上动点

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/10/07 13:19:24

如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,点P为椭圆上动点,弦PA,PB分别过点F1,F2.（1）若F1(-3,0),当PF1⊥F1F2时,点O到PF2的距离为24/17,求椭圆方程；（2）设向量PF1=λ1向量F1A,向量PF2=λ2向量F2B,求证λ1+λ2是定值

（1）设点P(p,q),F1(-3,0),F2(3,0)
则当PF1⊥F1F2时,有p=x(F1)=-3
点P(p,q)在椭圆上,则有 p^2/a^2+q^2/b^2=1 (1)
PF2直线方程为 y=q/(p-3)*(x-3),即qx-(p-3)y-3q=0
点O到PF2的距离为 d=|-3q|/√[q^2+(p-3)^2]=24/17 (2)
联立(1)(2),并代入p=-3,可解得
a^2=25,b^2=16
∴椭圆方程为 x^2/25+y^2/16=1
（2）设点P(m,n),A(u,v),B(s,t); F1(-c,0),F2(c,0)
则有向量PF1=(-c-m,-n),F1A=(u+c,v);
向量PF2=(c-m,-n),F2B=(s-c,t)
已知向量PF1=λ1F1A,PF2=λ2F2B,则
=> -c-m=λ1(u+c),-n=λ1v
c-m=λ2(s-c),-n=λ2t
点P,A,B均在椭圆上,代入椭圆得
m^2/a^2+n^2/b^2=1
u^2/a^2+v^2/b^2=1
s^2/a^2+t^2/b^2=1
=> u=[-(1+λ1)c-m]/λ1,v=-n/λ1
s=[(1+λ2)c-m]/λ2,t=-n/λ2
=> {[-(1+λ1)c-m]/λ1}^2/a^2+(-n/λ1)^2/b^2=1
{[(1+λ2)c-m]/λ2}^2/a^2+(-n/λ2)^2/b^2=1
=> [(1+λ1)c]^2/a^2+2m(1+λ1)c/a^2+1-λ1^2=0
[(1+λ2)c]^2/a^2-2m(1+λ2)c/a^2+1-λ2^2=0
=> (1+λ1){(1+λ1)c+2mc+a^2(1-λ1)}=0
(1+λ2){(1+λ2)c-2mc+a^2(1-λ2)}=0
PF1,F1A同向,∴λ1>0；同理,PF2,F2B同向,λ2>0
=> 1+λ1>0,1+λ2>0
=> (1+λ1)c+2mc+a^2(1-λ1)=0 (1)
(1+λ2)c-2mc+a^2(1-λ2)=0 (2)
=> (2+λ1+λ2)c+a^2[2-(λ1+λ2)]=0 (1)(2)两式相加
=> (a^2-c)(λ1+λ2)=2(a^2+1)
=> λ1+λ2=(a^2+1)/(a^2-c) a,c均为定值,可知λ1+λ2为定值
=> λ1+λ2=13/11 代入a=5,c=3,计算λ1+λ2数值