点O是三角形ABC所在平面内一点,点O是三角形ABC内心.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 16:38:20
点O是三角形ABC所在平面内一点,点O是三角形ABC内心.
求证│向量BC│·向量OA+│向量CA│·向量OB+│向量AB│·向量OC=零向量
求证│向量BC│·向量OA+│向量CA│·向量OB+│向量AB│·向量OC=零向量
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性:
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延长CO交AB于D,根据向量加法得:
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得:
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,
所以只能有:ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知:DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.
必要性:
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,
∵O是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
再问: 充分性:所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线。 必要性:∵O是内心∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE 分别怎么来的?我看1小时了~~=_=
再答: 这是内角平分线的一条性质啊: 三角形内角平分线的性质定理:三角形的内角平分线内分对边成两条线段,那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。 内角平分线分对边成比例,比如CF是角平分线, 则CF分对边成比例:AF/BF=CA/CB,即AF/BF=b/a, 反之也成立, 三角形内角平分线的判定定理:在⊿ABC中,若点D按照边AB和边AC的比内分边BC,即AB/AC=BD/CD,则线段AD是∠BAC的平分线。
充分性:
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延长CO交AB于D,根据向量加法得:
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得:
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,
所以只能有:ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知:DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.
必要性:
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,
∵O是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
再问: 充分性:所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线。 必要性:∵O是内心∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE 分别怎么来的?我看1小时了~~=_=
再答: 这是内角平分线的一条性质啊: 三角形内角平分线的性质定理:三角形的内角平分线内分对边成两条线段,那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。 内角平分线分对边成比例,比如CF是角平分线, 则CF分对边成比例:AF/BF=CA/CB,即AF/BF=b/a, 反之也成立, 三角形内角平分线的判定定理:在⊿ABC中,若点D按照边AB和边AC的比内分边BC,即AB/AC=BD/CD,则线段AD是∠BAC的平分线。
已知三角形ABC,点P是平面ABC外一点,点o是点p在平面ABC上的射影,且点o在三角形ABC内
点0是三角形ABC所在平面内的一点,满足向量OA*=OB*OC=OC*OA,求证:点o是三角形ABC的外心
三角形ABC所在平一点P到三角形ABC的三边距离相等,求证它在三角形ABC所在平面内的射影是三ABC角内心
已知O为三角形ABC所在平面内一点,若OA+OB+OC=O,则点O事三角形ABC的什么心
设O是三角形ABC所在的平面内一点.求解数学题
已知O是三角形ABC所在平面内一点,D为BC边中点
已知O为三角形ABC所在平面内一点,
点O是三角形ABC所在平面内一点,且向量OA×向量OB=向量OB×向量OC=向量OC×向量OA,则O是三角形ABC的
已知O为三角形ABC所在平面内一点,若OA *OB=OB*OC=OC*OA,则点O事三角形ABC的什么心?
一点P不在三角形ABC所在的平面内,O是三角形ABC的外心,若PA=PB=PC.求证:PO垂直平面ABC
1.已知O是三角形ABC所在的平面上的一点,|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2 则点 O( )
P是三角形ABC所在平面&外的一点,P到三角形ABC三边的距离相等,O为P在平面&内的射影,且在三角形ABC内.求证:O