大师作文网对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/21 10:52:36
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．
原式等价于
|a+b|+|a−2b|
|a|≥|x-1|+|x-2|，设
b
a＝t，
则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立．
因为|t+1|+|2t-1|=
3t (t≥
1
2)
−t+2 (−1＜t＜
1
2)
−3t ，(t≤−1)，最小值在 t=
1
2 时取到，为
3
2，
所以有
3
2≥|x-1|+|x-2|=
2x−3 (x≥2)
1 ，(1＜x＜2)
3−2x (x≤1) 解得 x∈[
3
4，
9
4]．
|a+b|+|a−2b|
|a|≥|x-1|+|x-2|，设
b
a＝t，
则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立．
因为|t+1|+|2t-1|=
3t (t≥
1
2)
−t+2 (−1＜t＜
1
2)
−3t ，(t≤−1)，最小值在 t=
1
2 时取到，为
3
2，
所以有
3
2≥|x-1|+|x-2|=
2x−3 (x≥2)
1 ，(1＜x＜2)
3−2x (x≤1) 解得 x∈[
3
4，
9
4]．
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