求解一道数列题 在数列{an}中,a₁=0,an=-an+3ⁿ 问:
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 15:36:05
求解一道数列题 在数列{an}中,a₁=0,an=-an+3ⁿ 问:
(1).a₂,a₃的值
(2).数列{an}的通项公式
(3).an/an-1的最大值
注:题中n,n-1是下标
(1).a₂,a₃的值
(2).数列{an}的通项公式
(3).an/an-1的最大值
注:题中n,n-1是下标
(1)a1=0
a2=0+3=3
a3=-3+9=6
(2)a(n+1)+an=3^n
a(n+2)+a(n+1)=3^(n+1)
两式相减得
a(n+2)-an=2*3^n
a(n+2)=an+2*3^n
设上式可以化为a(n+2)+k*3^(n+2)=an+k*3^n
整理得a(n+2)=an-8k*3^n
所以k=-1/4
所以a(n+2)-1/4*3^(n+2)=an-1/4*3^n
当n为奇数时,a(n+2)-1/4*3^(n+2)=a1-3/4=-3/4
a(n+2)=3/4*(3^(n+1)-1)
an=3/4*(3^(n-1)-1)
当n为偶数时,a(n+2)-1/4*3^(n+2)=a2-9/4=3/4
a(n+2)=3/4*(3^(n+1)+1)
an=3/4*(3^(n-1)+1)
所以an=3/4*(3^(n-1)-1) n为奇数
3/4*(3^(n-1)+1) n为偶数
即an=3/4*(3^(n-1)+(-1)^n)
(3)分情况讨论,令t=3^(n-1)
n是奇数,则n+1为偶数
an/a(n+1)=(t-1)/(3t+1)=1/3-(4/3)/(3t+1)1/3
所以n是偶数时能取得最大值,又因为n为偶数,t>=3,所以(4/3)/(3t-1)为减函数.
所以当t=3时,即n=2时,an/a(n+1)=1/3+1/6=1/2取得最大值.【注:^n,^(n+1)意思是n次方,n+1次方.a(n+1)就是数列第n+1项】
a2=0+3=3
a3=-3+9=6
(2)a(n+1)+an=3^n
a(n+2)+a(n+1)=3^(n+1)
两式相减得
a(n+2)-an=2*3^n
a(n+2)=an+2*3^n
设上式可以化为a(n+2)+k*3^(n+2)=an+k*3^n
整理得a(n+2)=an-8k*3^n
所以k=-1/4
所以a(n+2)-1/4*3^(n+2)=an-1/4*3^n
当n为奇数时,a(n+2)-1/4*3^(n+2)=a1-3/4=-3/4
a(n+2)=3/4*(3^(n+1)-1)
an=3/4*(3^(n-1)-1)
当n为偶数时,a(n+2)-1/4*3^(n+2)=a2-9/4=3/4
a(n+2)=3/4*(3^(n+1)+1)
an=3/4*(3^(n-1)+1)
所以an=3/4*(3^(n-1)-1) n为奇数
3/4*(3^(n-1)+1) n为偶数
即an=3/4*(3^(n-1)+(-1)^n)
(3)分情况讨论,令t=3^(n-1)
n是奇数,则n+1为偶数
an/a(n+1)=(t-1)/(3t+1)=1/3-(4/3)/(3t+1)1/3
所以n是偶数时能取得最大值,又因为n为偶数,t>=3,所以(4/3)/(3t-1)为减函数.
所以当t=3时,即n=2时,an/a(n+1)=1/3+1/6=1/2取得最大值.【注:^n,^(n+1)意思是n次方,n+1次方.a(n+1)就是数列第n+1项】
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