如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P,Q,R分别是棱BC,CD,DD1的中点.下列命题:
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/21 14:34:39
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P,Q,R分别是棱BC,CD,DD1的中点.下列命题:
①过A1C1且与CD1平行的平面有且只有一个;
②平面PQR截正方体所得截面图形是等腰梯形;
③AC1与QR所成的角为60°;
④线段EF与GH分别在棱A1B1和CC1上运动,且EF+GH=1,则三棱锥E-FGH体积的最大值是
①过A1C1且与CD1平行的平面有且只有一个;
②平面PQR截正方体所得截面图形是等腰梯形;
③AC1与QR所成的角为60°;
④线段EF与GH分别在棱A1B1和CC1上运动,且EF+GH=1,则三棱锥E-FGH体积的最大值是
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①CD1∥A1B,A1B∩A1C1=A1,则过A1B,A1C1有且只有一个平面,所以过A1C1且与CD1平行的平面有且只有一个,①正确,
②做RM平行PQ,交BB1于M;做PN平行于QR,交A1D1于NPQRMN这五点所构成的五边形即为截面,②错误;
③连结AC1,DC1,则,DC1为AC1在平面DC1,内的射影,DC1⊥RQ,由三垂线定理可知AC1⊥QR,所成的角为90°,③错误;
④设G在H上方,则V三棱锥E-FGH=V三棱锥G-EFC1-V三棱锥H-EFC1=
1
3×EF×GC1-
1
3×EF×HC1=
1
3×EF×GH,而EF+GH=1,则EF×GH的最大值=
1
4,④正确;
⑤以D1为坐标原点,以D1A1,D1C1,D1D所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体内切球球心为S,MN是该内切球的任意一条直径,则
OM•
ON=(
OS+
SM)•(
OS+
SN)=(
OS+
SM)•(
OS-
SM)=
OS2-1∈[0,2],⑤正确.
故答案为:①④⑤.
②做RM平行PQ,交BB1于M;做PN平行于QR,交A1D1于NPQRMN这五点所构成的五边形即为截面,②错误;
③连结AC1,DC1,则,DC1为AC1在平面DC1,内的射影,DC1⊥RQ,由三垂线定理可知AC1⊥QR,所成的角为90°,③错误;
④设G在H上方,则V三棱锥E-FGH=V三棱锥G-EFC1-V三棱锥H-EFC1=
1
3×EF×GC1-
1
3×EF×HC1=
1
3×EF×GH,而EF+GH=1,则EF×GH的最大值=
1
4,④正确;
⑤以D1为坐标原点,以D1A1,D1C1,D1D所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体内切球球心为S,MN是该内切球的任意一条直径,则
OM•
ON=(
OS+
SM)•(
OS+
SN)=(
OS+
SM)•(
OS-
SM)=
OS2-1∈[0,2],⑤正确.
故答案为:①④⑤.
如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E、F分别为DD1、DB的中点
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、DD1、CD的中点,N是BC的中点,
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N,分别为棱DD1,AB,BC的中点,求证PB⊥平面MNB1
如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.
在棱长为1的正方体 ABCD—A1B1C1D1中,P为DD1 的中点,O1O2O3分别是面A1B1C1D1的 面 BB1
如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.
如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1、DB的中点.
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点
如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F分别为DD1,BD的中点.求三棱锥VB1-EFC的体积
如图,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点
棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点