设抛物线方程为y^2=2px(p>0)过焦点F的弦AB的倾斜角为α,求证:焦点弦长为AB=2p/sinα^2
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 20:39:27
设抛物线方程为y^2=2px(p>0)过焦点F的弦AB的倾斜角为α,求证:焦点弦长为AB=2p/sinα^2
由抛物线方程y^2=2px,得抛物线的焦点坐标为(p/2,0),又AB的倾角为α,
∴AB的方程是:y=(x-p/2)tanα.
∴可设A、B的坐标分别是(m,(m-p/2)tanα)、(n,(n-p/2)tanα).
联立:y=(x-p/2)tanα、 y^2=2px,消去y,得:
[(x-p/2)tanα]^2=2px, ∴x^2(tanα)^2-px(tanα)^2+(ptanα)^2/4=2px,
∴4x^2(tanα)^2-[4p(tanα)^2+8p]x+p^2(tanα)^2=0.
显然,m、n是方程4x^2(tanα)^2-[4p(tanα)^2+8p]x+p^2(tanα)^2=0的两根,
∴由韦达定理,有:
m+n=[p(tanα)^2+2p]/(tanα)^2=p+2p/(tanα)^2、 mn=p^2/4.
而|AB|^2=(m-n)^2+[(m-p/2)tanα-(n-p/2)tanα]^2
=(m-n)^2+(m-n)^2(tanα)^2
=(m-n)^2[1+(tanα)^2]
=[(m+n)^2-4mn]/(cosα)^2
=[p^2+4p^2/(tanα)^2+4p^2/(tanα)^4-p^2]/(cosα)^2
=4p^2[1/(tanα)^2+1/(tanα)^4]/(cosα)^2
=4p^2[(tanα)^2+1]/[(tanα)^4(cosα)^2]
=4p^2[1/(cosα)^2]/[(sinα)^4/(cosα)^2]
=4p^2/(sinα)^4.
∴|AB|=4p/(sinα)^2.
∴AB的方程是:y=(x-p/2)tanα.
∴可设A、B的坐标分别是(m,(m-p/2)tanα)、(n,(n-p/2)tanα).
联立:y=(x-p/2)tanα、 y^2=2px,消去y,得:
[(x-p/2)tanα]^2=2px, ∴x^2(tanα)^2-px(tanα)^2+(ptanα)^2/4=2px,
∴4x^2(tanα)^2-[4p(tanα)^2+8p]x+p^2(tanα)^2=0.
显然,m、n是方程4x^2(tanα)^2-[4p(tanα)^2+8p]x+p^2(tanα)^2=0的两根,
∴由韦达定理,有:
m+n=[p(tanα)^2+2p]/(tanα)^2=p+2p/(tanα)^2、 mn=p^2/4.
而|AB|^2=(m-n)^2+[(m-p/2)tanα-(n-p/2)tanα]^2
=(m-n)^2+(m-n)^2(tanα)^2
=(m-n)^2[1+(tanα)^2]
=[(m+n)^2-4mn]/(cosα)^2
=[p^2+4p^2/(tanα)^2+4p^2/(tanα)^4-p^2]/(cosα)^2
=4p^2[1/(tanα)^2+1/(tanα)^4]/(cosα)^2
=4p^2[(tanα)^2+1]/[(tanα)^4(cosα)^2]
=4p^2[1/(cosα)^2]/[(sinα)^4/(cosα)^2]
=4p^2/(sinα)^4.
∴|AB|=4p/(sinα)^2.
设抛物线y^2=2px(p>0),(1)求证.过焦点F倾斜角为a的弦长为2p/sin^2a.(2) 如果他的动弦AB长为
过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F做倾斜角为α的直线与抛物线交于A,B两点,求证:|AB|=2p/(sinα)^2
过抛物线y^2=4px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则抛物线的方程是
已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的任意一条过焦点的弦,若弦AB被焦点F分成长为m,n的两部分,求证:1/m+1/
过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为3π/4的直线,交抛物线于A、B两点,求证|AB|=4p
7.过抛物线y*2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45度的直线交抛物线与A,B两点,若线段AB的长为8,求抛物线的标
抛物线问题AB为过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F的弦,M为AB中点,l是抛物线的准线 ,MN⊥l ,N为垂足,求证
高中数学抛物线已知抛物线的方程为y^2=2px(p>0)F为它的焦点.直线2x-y=0截抛物线所得弦长为根号5求设过F的
抛物线y^2=2px(p>0),设AB为焦点弦,M为准线与x轴的交点,F为焦点,求证∠AMF=∠BMF.
过抛物线y^2=2px(x>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p等于多少?
(1/2)已知倾斜角为X的直线过抛物线y^2=2px(x>0)的焦点F,与抛物线交于A.B二点.求证.|AB|=2p/s
已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦,为抛物线焦点,点A(X1,Y1),B(X2,Y2).求证: