在数列{an}中,a1=1,an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 08:10:08

在数列{an}中,a1=1,an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n
（1）设bn=an/n,求数列{bn}的通项公式.
（2）求数列{an}的前n项和Sn.

A(n+1)=(n+1)An/n+(n+1)/2^n
A(n+1)/(n+1)=An/n+1/2^n
依此类推
An/n=A(n-1)/(n-1)+1/2^(n-1)
A(n-1)/(n-1)=A(n-2)/(n-2)+1/2^(n-2)
……
A2/2=A1/1+1/2^1
上式相加,相同项消去得
An/n=A1/1+(1/2^1+1/2^2+……+1/2^(n-1))
=1+1/2×(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)
=2-1/2^n
即Bn=2-1/2^n
（2）
An/n=2-1/2^n
An=2n-n/2^n
{An}分为两部分,2n是等差数列,n/2^n是等差数列与等比数列相乘
第一部分求和
Sn1=(2+2n)n/2=(n+1)n
第二部分求和
Sn2=1/2+2/4+3/8+……+n/2^n
两边同乘2
2Sn2=1+2/2+3/4+……+n/2^(n-1)
两式错位相减
2Sn2-Sn2=1+[1/2+1/4+1/8……+1/2^(n-1)]-n/2^n
=1+1/2×(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)-n/2^n
=2-(n+2)/2^n
Sn=Sn1-Sn2
=n^2+n-2+(n+2)/2^n
=(n-1)(n+2)+(n+2)/2^n

在数列{an}中,a1=1,an+1=[(n+1)/n]*an+2(n+1),设bn=an/n,（1）证明数列{bn}是已知数列｛an｝中a1=6,且an-an-1=(an-1/n)+n+1(n属于N*,n≥2）,求an 在数列{an}中,已知(a1+a2+…+an)/n=(2n-1)an 在数列an中,a1=2 an+1=an+3n则an= 在数列{an}中,a1=1,2an+1/（n+1）²=an/n² 在数列{an}中、a1=1、an（角标）+1=2an+2n（n次方）、在数列an中,a1=1,且满足a（n+1）=3an +2n,求an 在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1(n为正整数）,证明数列{an-n}是等比数列已知数列{an}中,a1=2,an+1=an²+2an（n∈N+）在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+1n），则an=（　　）在数列an中,a1=2,an+1=an+ln（1+1／n）,则an= 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3~n,求an.为次方）