已知函数f (x)=2x2+x-k,g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,g
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 00:31:33
已知函数f (x)=2x2+x-k,g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,g(x)取得极值-2.
(1)求函数g(x)的单调区间和极大值;
(2)若对任意x∈[-1,3],都有f(x)≤g(x)成立,求实数k的取值范围;
(3)若对任意x1∈[-1,3],x2∈[-1,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数k的取值范围.
(1)求函数g(x)的单调区间和极大值;
(2)若对任意x∈[-1,3],都有f(x)≤g(x)成立,求实数k的取值范围;
(3)若对任意x1∈[-1,3],x2∈[-1,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数k的取值范围.
(1)∵g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,
∴g(-x)=g(x),可得b=d=0,即g(x)=ax3+cx(a≠0),
又当x=1时,g(x)取得极值-2,∴
g′(1)=0
g(1)=-2,即
3a+c=0
a+c=-2,
解得
a=1
c=-3,故函数g(x)=x3-3x,导函数g′(x)=3x2-3,
令3x2-3=0解得x=±1,当x∈(-∞,-1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
当x∈(-1,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
故当x=-1时,g(x)取到极大值g(-1)=2
(2)f(x)-g(x)=2x2+4x-k-x3,对任意x∈[-1,3],都有f(x)≤g(x)成立,
只需k≥2x2+4x-x3,构造函数F(x)=2x2+4x-x3,x∈[-1,3],F′(x)=-3x2+4x+4,
令],F′(x)=0可得x=2或x=-
2
3,当x∈(-1,-
2
3)时,F′(x)<0,F(x)单调递减
当x∈(-
2
3,2)时,F′(x)>0,F(x)单调递增,当x∈(2,3)时,F′(x)<0,F(x)单调递减,
当x=2时,F(x)取到极大值F(2)=8,F(-1)=-1,故F(x)的最大值为8,
故实数k的取值范围为:k≥8;
(3)若对任意x1∈[-1,3],x2∈[-1,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,
即f(x)在区间[-1,3]上的最大值都小于或等于g(x)的最小值,
由(1)可知:当x∈[-1,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(1,3]时,g′(x)>0,g(x)单调递增,故当x=1时,函数g(x)取到极小值,
也是该区间的最小值g(1)=-2,
而f (x)=2x2+x-k为开口向上的抛物线,对称轴为x=-
1
4,故当x=3时取最大值f(3)=21-k,
由21-k≤-2,解得k≥23
∴g(-x)=g(x),可得b=d=0,即g(x)=ax3+cx(a≠0),
又当x=1时,g(x)取得极值-2,∴
g′(1)=0
g(1)=-2,即
3a+c=0
a+c=-2,
解得
a=1
c=-3,故函数g(x)=x3-3x,导函数g′(x)=3x2-3,
令3x2-3=0解得x=±1,当x∈(-∞,-1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
当x∈(-1,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
故当x=-1时,g(x)取到极大值g(-1)=2
(2)f(x)-g(x)=2x2+4x-k-x3,对任意x∈[-1,3],都有f(x)≤g(x)成立,
只需k≥2x2+4x-x3,构造函数F(x)=2x2+4x-x3,x∈[-1,3],F′(x)=-3x2+4x+4,
令],F′(x)=0可得x=2或x=-
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3,当x∈(-1,-
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3)时,F′(x)<0,F(x)单调递减
当x∈(-
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3,2)时,F′(x)>0,F(x)单调递增,当x∈(2,3)时,F′(x)<0,F(x)单调递减,
当x=2时,F(x)取到极大值F(2)=8,F(-1)=-1,故F(x)的最大值为8,
故实数k的取值范围为:k≥8;
(3)若对任意x1∈[-1,3],x2∈[-1,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,
即f(x)在区间[-1,3]上的最大值都小于或等于g(x)的最小值,
由(1)可知:当x∈[-1,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(1,3]时,g′(x)>0,g(x)单调递增,故当x=1时,函数g(x)取到极小值,
也是该区间的最小值g(1)=-2,
而f (x)=2x2+x-k为开口向上的抛物线,对称轴为x=-
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4,故当x=3时取最大值f(3)=21-k,
由21-k≤-2,解得k≥23
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,函数取极值1;若对任意的x1,x2∈
已知函数f(x)=ax3+cx+d (a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
已知函数g(x)=ax3+bx2+cx(a∈R且a≠0),g(-1)=0,则g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)
已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d,方程f(x)=0
已知函数f(x)=2x^2+x-k,g(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a不等于0)是r上的奇函数当x=1,g(x)
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(x∈R,a≠0),-2是f(x)的一个零点,又f(x)在x=0处有极值,
已知定义在实数集R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是实数.
已知函数g(X)=ax3+bx2+cx+d(a不等于0)的导函数为f(x),a+b+c=0,且f(0)f(1)>0,设X
已知函数g(x)=ax3+bx2+cx(a不等于0),g(-1)=0,且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)
1.f(x)=ax3+cx+d(a≠0)在R上为奇函数,当x=1时,取极值2
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a#0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,取得极值1,求f(x)的解析式
(2013•眉山二模)已知函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的导函数为f(x),a+b+c=0,且f(0)