问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 21:49:14

问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；
观察图形，AB与AC的数量关系为______；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为______；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为______；
（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数

（1）①当∠BAC=90°时，
∵∠BAC=2∠ACB，
∴∠ACB=45°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC（等角对等边）；
②当∠DAC=15°时，
∠DAB=90°-15°=75°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=75°，
∴∠DBA=180°-75°-75°=30°，
∴∠DBC=45°-30°=15°，即∠DBC=15°，
∴∠DBC的度数为15°；
③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC：∠ABC=1：3，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．

证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．
∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠KCA=∠BAC，
∴∠KCD=∠3，
∴△KCD≌△BAD，
∴∠2=∠4，KD=BD，
∴KD=BD=BA=KC．
∵BK∥AC，
∴∠ACB=∠6，
∵∠BAC=2∠ACB，且∠KCA=∠BAC，
∴∠KCB=∠ACB，
∴∠5=∠ACB，
∴∠5=∠6，
∴KC=KB，
∴KD=BD=KB，
∴∠KBD=60°，
∵∠ACB=∠6=60°-∠1，
∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，
∵∠1+（60°-∠1）+（120°-2∠1）+∠2=180°，
∴∠2=2∠1，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
再问：第二小题呢？

已知△ABC中，点D是BC边上一点，且AB=AC=CD，BD=AD，求∠BAD的度数．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提如图，在△ABC中，D是BC边上一点AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．三角形ABC内有一点D,DA=DC,BD=BA.∠BAC=2∠ACB,1当∠BAC=90时,∠DBC与∠ABC的关系? 如图所示,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC与点D,且AB+BD=DC,那么∠C的度数是? 已知,在△ABC中,∠BAC=90°;,AB=AC,点D是BC边上任意一点,则BD²+CD²=2AD 如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠DBC,求∠BDE的度数如图,在△ABC中,D是BC边上的一点AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC的度数如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC的度数. △ABC中,BA平分∠DBC,∠BAC=124°,BD⊥AC于D,求∠C的度数 △ABC中,BA平分∠DBC,∠BAC=118°,BD⊥AC于D,求∠C的度数在△ABC中,BA平分∠DBC,∠BAC=144°,BD⊥AC于D,求∠C的度数