导函数存在第二类间断点为什么原函数依然可导?导函数存在第二类间断点那么fx左导数右导数至少一个不存在,因为fx可导的充要
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 08:22:07
导函数存在第二类间断点为什么原函数依然可导?导函数存在第二类间断点那么fx左导数右导数至少一个不存在,因为fx可导的充要条件是左导、右导存在且相等.那么fx不就不可导了吗?请不要复制别人的,别人的我已经看了没看懂.
为了解答你的疑问,需用到
1)若函数 f(x)在 [a,c] (或 [c,b]) 连续,在 (a,c) (或 (c,b)) 可导,且 lim(x→c-)f`(x) (或 lim(x→c+)f`(x))存在,则
f'(c-0) = lim(x→c-)f`(x) (或f'(c+0) = lim(x→c+)f`(x)).
事实上,
f'(c-0) = lim(x→c-)[f(x)-f(c)]/(x-c) (0/0,用罗比达法则)
= lim(x→c-)f`(x).
2)以下用反证法证明:f'(x) 有间断点必是第二类的.
事实上,若函数 f(x) 在 (a,b) 可导,c∈(a,b) 是其第一类间断点,即 f'(c-0) 与 f'(c+0) 均存在,则由1)应有
lim(x→c-)f`(x) = f'(c-0) = f'(c+0) = lim(x→c+)f`(x),
即
f`-(c) = f`+(c) = f'(c),
得知 x=c 是 f'(x) 的连续点,矛盾.说明如果 f'(x) 有间断点一定是第二类的.
1)若函数 f(x)在 [a,c] (或 [c,b]) 连续,在 (a,c) (或 (c,b)) 可导,且 lim(x→c-)f`(x) (或 lim(x→c+)f`(x))存在,则
f'(c-0) = lim(x→c-)f`(x) (或f'(c+0) = lim(x→c+)f`(x)).
事实上,
f'(c-0) = lim(x→c-)[f(x)-f(c)]/(x-c) (0/0,用罗比达法则)
= lim(x→c-)f`(x).
2)以下用反证法证明:f'(x) 有间断点必是第二类的.
事实上,若函数 f(x) 在 (a,b) 可导,c∈(a,b) 是其第一类间断点,即 f'(c-0) 与 f'(c+0) 均存在,则由1)应有
lim(x→c-)f`(x) = f'(c-0) = f'(c+0) = lim(x→c+)f`(x),
即
f`-(c) = f`+(c) = f'(c),
得知 x=c 是 f'(x) 的连续点,矛盾.说明如果 f'(x) 有间断点一定是第二类的.
导函数间断点问题有人说导函数没有第一类间断点,也就是说有些导函数可以有第二类间断点.可是在一点处可导的定义是,左导数等于
如果函数 在 处可导,那么是否存在点 的一个邻域,在此邻域内 也一定可导根据左导数和右导数请构造一下
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不连续一定不可导,可为什么分段函数中的间断点可以通过定义求出间断点的导数呢
可导必连续,不连续一定不可导,可为什么分段函数中的间断点可以通过定义求出间断点的导数呢
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第二类间断点就是函数的左右极限至少有一个不存在,那么得出的极限为无穷大是否就是不存在?
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