设a,b,c都是正实数,且a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2+λ√(abc)≤1恒成立的实数λ的最大值是
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 18:32:17
设a,b,c都是正实数,且a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2+λ√(abc)≤1恒成立的实数λ的最大值是
因为a^2+b^2+c^2+λ√(abc)≤1对所有正实数a,b,c都成立所以
λ ≤ (1- a^2-b^2-c^2)/√(abc) = ((a+b+c)^2 - a^2-b^2-c^2)/√(abc) = 2(ab+bc+ca)/√(abc),
=2(√(ab/c) +√(bc/a) +√(ac/b)).(#)
令x=√(ab/c),y=√(bc/a),z=√(ac/b),则xy + yz + zx = a+b+c=1.而(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2≥0
则x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx,所以(x+y+z)^2 ≥ 3(xy+yz+zx)=3,所以x+y+z ≥√3,所以
2(√(ab/c) +√(bc/a) +√(ac/b))= 2(x+y+z)≥2√3.
当a=b=c时等号成立,2(√(ab/c) +√(bc/a) +√(ac/b))的最小值为2√3.因为(#)式对所有正实数a,b,c都成立,所以λ的最大值为2√3.
λ ≤ (1- a^2-b^2-c^2)/√(abc) = ((a+b+c)^2 - a^2-b^2-c^2)/√(abc) = 2(ab+bc+ca)/√(abc),
=2(√(ab/c) +√(bc/a) +√(ac/b)).(#)
令x=√(ab/c),y=√(bc/a),z=√(ac/b),则xy + yz + zx = a+b+c=1.而(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2≥0
则x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx,所以(x+y+z)^2 ≥ 3(xy+yz+zx)=3,所以x+y+z ≥√3,所以
2(√(ab/c) +√(bc/a) +√(ac/b))= 2(x+y+z)≥2√3.
当a=b=c时等号成立,2(√(ab/c) +√(bc/a) +√(ac/b))的最小值为2√3.因为(#)式对所有正实数a,b,c都成立,所以λ的最大值为2√3.
若a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,则a^1/2+b^1/2+c^1/2的最大值
设abc为正实数,且1/a +9/b=1,则使a +b 大于等于C恒成立c的取值范围?
设abc为正实数,且1/a 9/b=1,则使a b 大于等于C恒成立c的取值范围?
已知实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1,不等式|a+b|≥k|c|恒成立.则实数k的最大值
设a,b,c是正实数,且(a+1)(b+1)(c+1)=8,证明abc≤1
设abc都是正实数,证明a/b+c+b/a+c+c/a+b大于等于3/2
设abc都是正实数,证明a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)大于等于3/2
已知a、b、c为正实数,且a+2b+3c=9,求√3a+√2b+√c的最大值
a/b+b/c+c/a+3(abc)^(1/3)/a+b+c>=4证明上面不等式成立,其中a.b.c都是正实数.
设abc都是正实数,求证a^3+b^3+c^3≥1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)
设a,b,c,是正实数,且abc=1 .求证1/(1+2a)+1/(1+2b)+1/(1+2c)≥1
设a,b,c都是正实数,求a/b+2c +b/c+2a +c/a+2b的最小值