已知m∈R,设函数f(x)=x3-3(m+1)x2+12mx+1.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 11:28:39
已知m∈R,设函数f(x)=x3-3(m+1)x2+12mx+1.
(Ⅰ) 若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;
(Ⅱ) 若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范围.
(Ⅰ) 若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;
(Ⅱ) 若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范围.
(Ⅰ) 由题意知
f′(x)=3x2-6(m+1)x+12m=3(x-2)(x-2m).
由于f(x)在[0,3]上无极值点,故2m=2,所以m=1.
(Ⅱ) 由于f′(x)=3(x-2)(x-2m),故
(i) 当2m≤0或2m≥3,即m≤0或m≥
3
2时,
取x0=2即满足题意.
此时m≤0或m≥
3
2.
(ii) 当0<2m<2,即0<m<1时,列表如下:
x 0 (0,2m) 2m (2m,2) 2 (2,3) 3
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 1 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 9m+1故f(2)≤f(0)或 f(2m)≥f(3),
即-4+12m+1≤1或-4m3+12m2+1≥9m+1,
从而3m≤1或-m(2m-3)2≥0,
所以m≤
1
3或m≤0或m=
3
2.
此时0<m≤
1
3.
(iii) 当2<2m<3,即1<m<
3
2时,列表如下:
x 0 (0,2) 2 (2,2m) 2m (2m,3) 3
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 1 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 9m+1故f(2m)≤f(0)或 f(2)≥f(3),
即-4m3+12m2+1≤1或-4+12m+1≥9m+1,
从而-4m2 (m-3)≤0 或 3m≥4,
所以m=0或m≥3或 m≥
4
3.
此时
4
3≤m<
3
2.
综上所述,实数m的取值范围是
m≤
1
3或m≥
4
3.
f′(x)=3x2-6(m+1)x+12m=3(x-2)(x-2m).
由于f(x)在[0,3]上无极值点,故2m=2,所以m=1.
(Ⅱ) 由于f′(x)=3(x-2)(x-2m),故
(i) 当2m≤0或2m≥3,即m≤0或m≥
3
2时,
取x0=2即满足题意.
此时m≤0或m≥
3
2.
(ii) 当0<2m<2,即0<m<1时,列表如下:
x 0 (0,2m) 2m (2m,2) 2 (2,3) 3
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 1 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 9m+1故f(2)≤f(0)或 f(2m)≥f(3),
即-4+12m+1≤1或-4m3+12m2+1≥9m+1,
从而3m≤1或-m(2m-3)2≥0,
所以m≤
1
3或m≤0或m=
3
2.
此时0<m≤
1
3.
(iii) 当2<2m<3,即1<m<
3
2时,列表如下:
x 0 (0,2) 2 (2,2m) 2m (2m,3) 3
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 1 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 9m+1故f(2m)≤f(0)或 f(2)≥f(3),
即-4m3+12m2+1≤1或-4+12m+1≥9m+1,
从而-4m2 (m-3)≤0 或 3m≥4,
所以m=0或m≥3或 m≥
4
3.
此时
4
3≤m<
3
2.
综上所述,实数m的取值范围是
m≤
1
3或m≥
4
3.
已知m∈R,设函数f(x)=x3-3(m+1)x2+12mx+1.
已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex.
设函数f(x)=-13x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数,则实数m的取值范围是( )
设函数f(x)=x2+(m-1)x-2m-1(m∈R),
设函数f(x)=−13x3+x2+(m2−1)x(x∈R),其中m>0为常数
设函数f(x)=13x3+12(m-1)x2+x+2
已知函数f(x)=||x-1|-1|,若关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4
已知函数f(x)=mx+3,g(x)=x2+2x+m (1)求证:函数f(x)-g(x)必有零点 (2)设函数G(x)=
已知函数f(x)=x2-2mx+3,若x属于[-1,2],则求函数f(x)的最大值g(m),以及最小值h(m).
已知函数f(x)=mx^2-2x-1(m∈R),f(x)
已知函数f(x)=1/3x^3-mx^2+1/3m,其中m∈R,(1)若对任意的x1,x2∈[-1,1],