二阶线性递归数列A(n+2)=c1A(n+1)+c2An
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 08:42:17
二阶线性递归数列A(n+2)=c1A(n+1)+c2An
若特征方程两根并非实根(即无实根),是否一定为周期数列?
若特征方程两根并非实根(即无实根),是否一定为周期数列?
不一定:
1.构造一个特征方程 x^2-2x+4=0 的两根 x1=1+√3i,x2=1-√3i,使
an=(1+√3i)^n+(1-√3i)^n=2^(n+1)*cos(nπ/3)
则an不是周期数列
2.构造一个特征方程 x^2-x+1=0 的两根 x1=(1+√3i)/2,x2=(1-√3i)/2,使
an=[(1+√3i)/2]^n+[(1-√3i)/2]^n=2cos(nπ/3)
则an是周期数列
3.周期数列的条件:c1,c2∈R,x1,x2互为共轭复数,|x1|=|x2|=1,x1的幅角为π的有理数倍.可以推导验证一下.
再问: 那如果用不动点法做的题目,不动点方程无实根,是不是周期数列?
再答: 对于二阶线性递归数列A(n+2)=c1A(n+1)+c2An,我们已经有非常完美结果: 特征方程x^2=c1x+c2 的两根为x1,x2且x1≠x2,则有 An=a*x1^n+b*x2^n 其中a,b 根据两个初始值可以解得。 因此在这种情况下一般采用特征方程的方法。 至于你所说的不动点的问题,你可以考虑构造一个满足条件(无实根)的递推数列,然后确定其中的一些待定系数,或找出需要的其它条件。
1.构造一个特征方程 x^2-2x+4=0 的两根 x1=1+√3i,x2=1-√3i,使
an=(1+√3i)^n+(1-√3i)^n=2^(n+1)*cos(nπ/3)
则an不是周期数列
2.构造一个特征方程 x^2-x+1=0 的两根 x1=(1+√3i)/2,x2=(1-√3i)/2,使
an=[(1+√3i)/2]^n+[(1-√3i)/2]^n=2cos(nπ/3)
则an是周期数列
3.周期数列的条件:c1,c2∈R,x1,x2互为共轭复数,|x1|=|x2|=1,x1的幅角为π的有理数倍.可以推导验证一下.
再问: 那如果用不动点法做的题目,不动点方程无实根,是不是周期数列?
再答: 对于二阶线性递归数列A(n+2)=c1A(n+1)+c2An,我们已经有非常完美结果: 特征方程x^2=c1x+c2 的两根为x1,x2且x1≠x2,则有 An=a*x1^n+b*x2^n 其中a,b 根据两个初始值可以解得。 因此在这种情况下一般采用特征方程的方法。 至于你所说的不动点的问题,你可以考虑构造一个满足条件(无实根)的递推数列,然后确定其中的一些待定系数,或找出需要的其它条件。
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