已知f(x)=a^x-1/a^x(a>1,X属于R) (1)判断并证明f(x)的奇偶性与单调性.(2)若f(-2x^2+
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 00:38:45
已知f(x)=a^x-1/a^x(a>1,X属于R) (1)判断并证明f(x)的奇偶性与单调性.(2)若f(-2x^2+3x)+f(m-x-x^2)>0对任意的X属于【0,1】均成立,求m的取值范围.
a^x是表示a的x次方
a^x是表示a的x次方
1)求f(-x) 是等于f(x)还是等于-f(x)从而判断奇偶性.本题中因为1/a^x=a^(-x),所以原式可以化为
f(x)=a^x-1/a^x
=a^x - a^(-x)
显然有f(-x) =-f(x),所以f(x)为奇函数.
根据f(x)的一阶导数判断单调性.本题中,f‘(x)=lna*a^x - lna*a^(-x)*(-1)=lna*a^x+lna*a^(-x);由于a>1,所以f‘(x)>0,因此f(x)为单调增函数.
2)因为f(x)为奇函数-f(x) = f(-x).所以-f(m-x-x^2) = f(-(m-x-x^2)) = f(x^2-x-m).
原不等式可以化为f(-2x^2+3x)> -f(m-x-x^2) = f(x^2-x-m).
又因为 f(x)为单调增函数,此不等式成立的充分必要条件是-2x^2+3x > x^2-x-m.
再根据x属于【0,1】此不等式均成立,从而求解该不等式.
即:对于xx属于【0,1】,不等式3x^2-4x-m
f(x)=a^x-1/a^x
=a^x - a^(-x)
显然有f(-x) =-f(x),所以f(x)为奇函数.
根据f(x)的一阶导数判断单调性.本题中,f‘(x)=lna*a^x - lna*a^(-x)*(-1)=lna*a^x+lna*a^(-x);由于a>1,所以f‘(x)>0,因此f(x)为单调增函数.
2)因为f(x)为奇函数-f(x) = f(-x).所以-f(m-x-x^2) = f(-(m-x-x^2)) = f(x^2-x-m).
原不等式可以化为f(-2x^2+3x)> -f(m-x-x^2) = f(x^2-x-m).
又因为 f(x)为单调增函数,此不等式成立的充分必要条件是-2x^2+3x > x^2-x-m.
再根据x属于【0,1】此不等式均成立,从而求解该不等式.
即:对于xx属于【0,1】,不等式3x^2-4x-m
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