数值分析的证明题研究求a^1/2的牛顿公式X(k+1)=1/2(Xk+a/Xk),X0>0.证明对一切k=1,2,...
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 12:31:10
数值分析的证明题
研究求a^1/2的牛顿公式X(k+1)=1/2(Xk+a/Xk),X0>0.
证明对一切k=1,2,...Xk>=a^1/2,且序列X1,X2...是递减的
研究求a^1/2的牛顿公式X(k+1)=1/2(Xk+a/Xk),X0>0.
证明对一切k=1,2,...Xk>=a^1/2,且序列X1,X2...是递减的
(1)首先证明所有的x(k)都大于零,因为x(0)>0,这个显然.
(2)利用不等式1/2(a+b)>=sqart(ab) 证明所有的x(k)>=a^1/2,x(k+1)=1/2(x(k)+a/x(k))>=sqart{x(k)*a/x(k)}=sqart(a)=a^1/2.
等号当且仅当x(k)=a^1/2时成立,进而等号成立的条件为x(k)=x(k-1)=...=x(0)=a^1/2.
(3)如果x(0)不等于a^1/2才是递减的.
这是因为此时有所有x(k)>a^1/2.
x(k+1)-x(k)=1/2{x(k)+a/x(k) }-x(k)=1/2{a/x(k)-x(k)}=1/2 *[a-x(k)^2]/x(k)
(2)利用不等式1/2(a+b)>=sqart(ab) 证明所有的x(k)>=a^1/2,x(k+1)=1/2(x(k)+a/x(k))>=sqart{x(k)*a/x(k)}=sqart(a)=a^1/2.
等号当且仅当x(k)=a^1/2时成立,进而等号成立的条件为x(k)=x(k-1)=...=x(0)=a^1/2.
(3)如果x(0)不等于a^1/2才是递减的.
这是因为此时有所有x(k)>a^1/2.
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