设函数f(x)=e^x+e^-x,证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 13:14:43
设函数f(x)=e^x+e^-x,证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
解设x1,x2属于(0,+∞),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=e^x1+e^(-x1)-e^x2-e^(-x2)
=e^x1-e^x2+e^(-x1)-e^(-x2)
=e^x1-e^x2+1/e^(x1)-1/e^(x2)
=e^x1-e^x2+e^(x2)/e^(x2)e^(x1)-e^(x1)/e^(x1)e^(x2)
=e^x1-e^x2+[e^(x2)-e^(x1)]/e^(x1)e^(x2)
=e^x1-e^x2-[e^(x1)-e^(x2)]/e^(x1)e^(x2)
=(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1)e^(x2)]
由x1<x2
知e^x1<e^x2
即e^x1-e^x2<0
又由0<x1<x2
即e^(x1)>1,e^(x2)>1
则e^(x1)e^(x2)>1
即1-1/e^(x1)e^(x2)>0
即(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1)e^(x2)]<0
即f(x1)-f(x2)<0
故
f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
则f(x1)-f(x2)
=e^x1+e^(-x1)-e^x2-e^(-x2)
=e^x1-e^x2+e^(-x1)-e^(-x2)
=e^x1-e^x2+1/e^(x1)-1/e^(x2)
=e^x1-e^x2+e^(x2)/e^(x2)e^(x1)-e^(x1)/e^(x1)e^(x2)
=e^x1-e^x2+[e^(x2)-e^(x1)]/e^(x1)e^(x2)
=e^x1-e^x2-[e^(x1)-e^(x2)]/e^(x1)e^(x2)
=(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1)e^(x2)]
由x1<x2
知e^x1<e^x2
即e^x1-e^x2<0
又由0<x1<x2
即e^(x1)>1,e^(x2)>1
则e^(x1)e^(x2)>1
即1-1/e^(x1)e^(x2)>0
即(e^x1-e^x2)[1-1/e^(x1)e^(x2)]<0
即f(x1)-f(x2)<0
故
f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
证明函数f(x)=lnx/x在区间(0,e)上是单调递增函数
设a﹥0,f(x)=e^x/a +a/e^x是R上的偶函数.证明f(x)在(0,正无穷大)上是增函数
设函数f(x)=lg[x+根号(x^2+1)] 证明函数F(X)在其定义域上是单调增函数
一道高数题,设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x)∫(0,1) f(x)dx,则f(
设函数f(x)在区间[0,+∞]上连续,且f(0)=0,f'(x)递增 ,证明:f(x)/x在(0,+∞)上是单调增函数
设函数f(x)在(-∞,+∞)可导,且满足f(0)=1,f'(x)=f(x),证明f(x)=e^x
已知函数f(x)=ln(e^x-e^-x)/2,则f(x)是,奇偶性,单调,证明
设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=e^x+1/e∫(0,1)f(x)dx,求f(x)
设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,f (x)=f(x/y)+f(y),f(3)=1,证明f(x)+f(
利用定义域证明:函数f(x)=1-1/x在区间【0,+∞)上是单调增函数
设函数f(x)=x-2/x-1 1.用定义证明函数f(x)在区间(1,正无穷)上是单调递减函数
证明f(x)=x2+1/x在区间[1,+∞)上是单调增函数