abc=1且都大于0 求证：1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)大于等于4

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 12:53:09

令A=1/a,B=1/b,C=1/c;A>0,B>0,C>0;
则ABC=1;
1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)
=A+B+C+3/(1/A+1/B+1/C)
=A+B+C+3(ABC)/(BC+AC+AB)
=A+B+C+3/(AB+BC+AC)
(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2*(AB+BC+AC)
因为：2*(A^2+B^2+C^2)≥2*(AB+AC+BC)
所以：3*(AB+AC+BC)≤(A+B+C)^2
所以：(A+B+C)+3/(AB+AC+BC)≥(A+B+C)+9/(A+B+C)^2
令x=A+B+C;
则原题化求：x+9/x^2,的最小值问题.
由于x=A+B+C≥3*(ABC)^(1/3)=3; 即x≥3,
设函数y(x)=x+9/x^2;(定义域x≥3)：
dy/dx=1-18/x^3;(x≥3);dy/dx≥1-18/27>0
所以函数y(x)=x+9/x^2的最小值在x=3时取得,
即y(x)≥y(3)=3+9/9=4;
所以
1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)
=A+B+C+3/(AB+BC+AC)
≥(A+B+C)+9/(A+B+C)^2
≥4；当且仅当A+B+C=3时等号成立,即A=B=C=1或a=b=c=1,时等号成立.

a>0b>0c>0,abc=1.求证/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)大于等于(ac+bc+ 已知a大于0,b大于0,且a+b+c=1.求证1/a+1/b+1/c大于等于9 实数abc,满足a>b>c,且a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,求证a+b大于1小于4/3 已知a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证a,b,c中有且只有一个数大于3/2 实数abc,满足a大于b大于c,且a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,求证a+b大于1小于4/3 已知a,b,c属于R+且a+b+c=1求证a+1/a) +(b+1/b) +(c+1/c) 大于等于100/3 已知a,b,c为实数,且a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c三数中必有一个大于3/2. 已知a,b,c为实数,且a+b+c=0 ,abc=1,求证:a,b,c三数中必有一个大于3/2. 已知a,b,c是正数,且ab+bc+ac=1求证a+b+c大于等于根号3 abc都是实数,且a加b加c等于0,abc等于1,求证a,b,c中必有一个大于1.5 若a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证a,b,c中必有一个大于1.5 a,b,c,属于正实数,且a+b+c=1求证（1+a)(1+b)(1+c)大于等于8（1-a)(1-b)(1-c)