大师作文网用数学归纳法证明x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/17 14:57:16
用数学归纳法证明x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除
明天考试，
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当n=1时
x^(2n-1)+y^(2n-1)
=x+y
(x+y)/(x+y)=1
能被x+y整除.
假设当n=k(k为整数,且k>=2)时,x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除,
则当n=k=1时
令x^(2k-1)+y^(2k-1)=A(x+y)
则x^(2k-1)=A(x+y)-y^(2k-1)
x^[2(k+1)-1]+y^[2(k+1)-1]
=x^(2k-1+2)+y^(2k-1+2)
=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*[A(x+y)-y^(2k-1)]+y^2*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)-x^2y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)+(y^2-x^2)*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)+(x+y)(y-x)*y^(2k-1)
两项中均含x+y
[x^2*A(x+y)+(x+y)(y-x)*y^(2k-1)]/(x+y)
=Ax^2+(y-x)*y^(2k-1)为整数
能被x+y整除.
综上,x^(2n-1)+y^(2n-1)能被x+y整除
x^(2n-1)+y^(2n-1)
=x+y
(x+y)/(x+y)=1
能被x+y整除.
假设当n=k(k为整数,且k>=2)时,x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除,
则当n=k=1时
令x^(2k-1)+y^(2k-1)=A(x+y)
则x^(2k-1)=A(x+y)-y^(2k-1)
x^[2(k+1)-1]+y^[2(k+1)-1]
=x^(2k-1+2)+y^(2k-1+2)
=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*[A(x+y)-y^(2k-1)]+y^2*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)-x^2y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)+(y^2-x^2)*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)+(x+y)(y-x)*y^(2k-1)
两项中均含x+y
[x^2*A(x+y)+(x+y)(y-x)*y^(2k-1)]/(x+y)
=Ax^2+(y-x)*y^(2k-1)为整数
能被x+y整除.
综上,x^(2n-1)+y^(2n-1)能被x+y整除
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