我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1,四边形ABCD即为“准等腰梯形”.其
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 09:37:25
我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1,四边形ABCD即为“准等腰梯形”.其中∠B=∠C.
(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可);
(2)如图2,在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C.E为边BC上一点,若AB∥DE,AE∥DC,求证:
(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可);
(2)如图2,在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C.E为边BC上一点,若AB∥DE,AE∥DC,求证:
AB |
DC |
(1)如图1,过点D作DE∥BC交PB于点E,则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE;
(2)∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEC,
∵AE∥DC,
∴∠AEB=∠C,
∵∠B=∠C,
∴∠B=∠AEB,
∴AB=AE.
∵在△ABE和△DEC中,
∠B=∠DEC
∠AEB=∠C,
∴△ABE∽△DEC,
∴
BE
EC=
AE
DC,
∴
AB
DC=
BE
EC;
(3)作EF⊥AB于F,EG⊥AD于G,EH⊥CD于H,
∴∠BFE=∠CHE=90°.
∵AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,
∴EF=EG=EH,
在Rt△EFB和Rt△EHC中
BE=CE
EF=EH,
∴Rt△EFB≌Rt△EHC(HL),
∴∠3=∠4.
∵BE=CE,
∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠ABC=∠DCB,
∵ABCD为AD截某三角形所得,且AD不平行BC,
∴ABCD是“准等腰梯形”.
当点E不在四边形ABCD的内部时,有两种情况:
如图4,当点E在BC边上时,同理可以证明△EFB≌△EHC,
∴∠B=∠C,
∴ABCD是“准等腰梯形”.
当点E在四边形ABCD的外部时,
四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”.
分两种情况:
情况一:
当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时,四边形ABCD为“准等腰梯形”;
情况二:
当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线相交时,四边形ABCD不是“准等腰梯形”.
(2)∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEC,
∵AE∥DC,
∴∠AEB=∠C,
∵∠B=∠C,
∴∠B=∠AEB,
∴AB=AE.
∵在△ABE和△DEC中,
∠B=∠DEC
∠AEB=∠C,
∴△ABE∽△DEC,
∴
BE
EC=
AE
DC,
∴
AB
DC=
BE
EC;
(3)作EF⊥AB于F,EG⊥AD于G,EH⊥CD于H,
∴∠BFE=∠CHE=90°.
∵AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,
∴EF=EG=EH,
在Rt△EFB和Rt△EHC中
BE=CE
EF=EH,
∴Rt△EFB≌Rt△EHC(HL),
∴∠3=∠4.
∵BE=CE,
∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠ABC=∠DCB,
∵ABCD为AD截某三角形所得,且AD不平行BC,
∴ABCD是“准等腰梯形”.
当点E不在四边形ABCD的内部时,有两种情况:
如图4,当点E在BC边上时,同理可以证明△EFB≌△EHC,
∴∠B=∠C,
∴ABCD是“准等腰梯形”.
当点E在四边形ABCD的外部时,
四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”.
分两种情况:
情况一:
当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时,四边形ABCD为“准等腰梯形”;
情况二:
当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线相交时,四边形ABCD不是“准等腰梯形”.
四边形ABCD是等腰梯形,AB平行CD,由四个这样的等腰梯形可拼出平行四边形
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