大师作文网极限计算题x趋向0 (1+1/x)^x=
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 12:46:15
极限计算题x趋向0 (1+1/x)^x=
我知道x趋向无穷时是定理，但x趋向0还是定理？
我知道x趋向无穷时是定理，但x趋向0还是定理？
lim x->0 (1+1/x)^x=lim x->0 e^[x*ln(1+1/x)]
当x->0-时,1+1/x->负无穷,ln(1+1/x)无意义;
当x->0+时,1+1/x->正无穷,所以ln(1+1/x)->正无穷,由洛必达法则知x*ln(1+1/x)->0,此时lim x->0+ (1+1/x)^x=e^[lim x->0+ x*ln(1+1/x)]=e^0=1.[用到了函数的连续性知识]
综上,只有x->0+时,有lim x->0+ (1+1/x)^x=1.
当x->0-时,1+1/x->负无穷,ln(1+1/x)无意义;
当x->0+时,1+1/x->正无穷,所以ln(1+1/x)->正无穷,由洛必达法则知x*ln(1+1/x)->0,此时lim x->0+ (1+1/x)^x=e^[lim x->0+ x*ln(1+1/x)]=e^0=1.[用到了函数的连续性知识]
综上,只有x->0+时,有lim x->0+ (1+1/x)^x=1.