如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为长方形,AD=2AB,点E、F分别是线段PD、PC的中
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 07:23:07
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为长方形,AD=2AB,点E、F分别是线段PD、PC的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面PAB;
(Ⅱ)在线段AD上是否存在一点O,使得BO⊥平面PAC,若存在,请指出点O的位置,并证明BO⊥平面PAC;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)证明:EF∥平面PAB;
(Ⅱ)在线段AD上是否存在一点O,使得BO⊥平面PAC,若存在,请指出点O的位置,并证明BO⊥平面PAC;若不存在,请说明理由.
证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD为长方形,
∴CD∥AB,
∵EF∥CD,∴EF∥AB,
又∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,
∴EF∥平面PAB. …(6分)
(Ⅱ) 在线段AD上存在一点O,使得BO⊥平面PAC,
此时点O为线段AD的四等分点,满足AO=
1
4AD,…(8分)
∵长方形ABCD中,
∠BAO=∠ADC=90°,
AO
DC=
BA
AD=
1
2
∴△ABO∽△ADC,
∴∠ABO+∠CAB=∠DAC+∠CAB=90°,
∴AC⊥BO,(10分)
又∵PA⊥底面ABCD,BO⊂底面ABCD,
∴PA⊥BO,
∵PA∩AC=A,PA、AC⊂平面PAC
∴BO⊥平面PAC.(12分)
∴CD∥AB,
∵EF∥CD,∴EF∥AB,
又∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,
∴EF∥平面PAB. …(6分)
(Ⅱ) 在线段AD上存在一点O,使得BO⊥平面PAC,
此时点O为线段AD的四等分点,满足AO=
1
4AD,…(8分)
∵长方形ABCD中,
∠BAO=∠ADC=90°,
AO
DC=
BA
AD=
1
2
∴△ABO∽△ADC,
∴∠ABO+∠CAB=∠DAC+∠CAB=90°,
∴AC⊥BO,(10分)
又∵PA⊥底面ABCD,BO⊂底面ABCD,
∴PA⊥BO,
∵PA∩AC=A,PA、AC⊂平面PAC
∴BO⊥平面PAC.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,点E,F分别为AB、PD的中点
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=PD,M,N分别为AB,PC中点,求证
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD,又M,N,E分别是AB,PC PD的
如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,若AB=2,AD
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别为AB,PB的中点
如图 在四棱锥P-ABCD中,底面为矩形ABCD,E,F分别为AB,PC的中点,且PD=PE,PB=
如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F是PD的中点,E是
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB,E、F、G分别为PC、PD、BC的
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E、F、G分别为PC、PD、B
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC,PD,BC中点.求
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA⊥PD,E,F分别为PC,BD的中点