已知函数f(x)=lnx-a/x,记函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=g(x)

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 10:21:26

已知函数f(x)=lnx-a/x,记函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=g(x)
(1)求g(x)的解析式
(2)设F(x)=f(x)-g(x),若F(x)在[1,正无穷)上单调递增,求a的取值范围
(3)若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,求a的值

（1）f(x)=lnx-a/x,函数定义域为（0,+∞）,
求导得：f′（x）=(1/x)+a/x^2
f′（1）=1+a ,
点(1,f(1))即（1,-a）
所以函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为：
y+a=(1+a)(x-1)
所以y=g(x)=(1+a)*x-(1+2a) 其中x∈（0,+∞）；
（2）F(x)=f(x)-g(x)=lnx-a/x-(1+a)*x+(1+2a)
求导得：
F′（x）=(1/x)+a/x^2-（1+a）
=[-（1+a)*(x^2)+x+a]/x^2
F(x)=f(x)-g(x),若F(x)在[1,+∞）上单调递增,
因此F′（x）≥0在[1,+∞）上恒成立,
所以：-（1+a)*(x^2)+x+a≥0在[1,+∞）上恒成立,
当x=1时,明显成立,
当x≠1时,分离参数得：a≤1-1/（x+1)在（1,+∞）上恒成立,
因此a≤1/2
综上可知：若F(x)在[1,+∞）上单调递增,则a的取值范围为（-∞,1/2]
（3）由（1）知f′（x）=(1/x)+a/x^2,
若a≥0,则f′（x）>0,函数f（x）单调递增,在x=1处取得最小值,
此时最小值为-a≤0≠3/2
所以必须a