已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/09 01:16:43
已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
①充分性
当a=1时,f(x)=x-1-lnx,f'(x)=1-1 x =x-1 x∴当x>1时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
当0<x<1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上是减函数,
∴f(x)≥f(1)=0
②必要性
f'(x)=1-a x =x-a x ,其中x>0
(i)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数
而f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意.
(ii)当a>0时,∵x>a时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
0<x<a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数;
∴f(x)≥f(a)=a-a-alna
∵f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a=1
综上所述,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1;
当a=1时,f(x)=x-1-lnx,f'(x)=1-1 x =x-1 x∴当x>1时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
当0<x<1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上是减函数,
∴f(x)≥f(1)=0
②必要性
f'(x)=1-a x =x-a x ,其中x>0
(i)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数
而f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意.
(ii)当a>0时,∵x>a时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
0<x<a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数;
∴f(x)≥f(a)=a-a-alna
∵f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a=1
综上所述,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1;
已知函数f(x)=x-1-alnx,a>0,对于x>0,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围
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已知函数f(x)=x2-x+alnx(x≥1),若f(x)≤x2恒成立,求实数a的取值范围?
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