数列an,bn满足an+1=an²/an+bn,bn+1=bn²/an+bn,a1=3,b1=1,(
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 09:32:27
数列an,bn满足an+1=an²/an+bn,bn+1=bn²/an+bn,a1=3,b1=1,(I)令C=an-bn,求Cn.
(II)bn前n项和为Sn,证Sn<3/2.(详)
(II)bn前n项和为Sn,证Sn<3/2.(详)
由An,Bn的递推式,及Cn的定义式,可知
C(n+1)=A(n+1)-B(n+1)=An^2/(An+Bn)-Bn^2/(An+Bn)=(An^2-Bn^2)/(An+Bn)=An-Bn=Cn.
即Cn为常数列.又C1=A1-B1=2,所以Cn=2.
由An,Bn的递推式,两式相除(已知An,Bn任意一项不为0),得
A(n+1)/B(N+1)=(An/Bn)^2.
由数学归纳法,可证A(n+1)/B(n+1)=(A1/B1)^(2^n)=3^(2^n).
代入Bn的递推式,得
B(n+1)=Bn/(3^(2^(n-1))+1)=…=B1/[(3^2+1)*(3*4+1)*(3^8+1)…*(3^(2^(n-1))+1)].
显然Bn为正数列,所以Sn是递增的.
下面证明Bn1.
注意到,(3^2+1)*(3*4+1)*(3^8+1)…*(3^(2^(n-2))+1)>(3^2)*3*3*…*3=3^(n-1).
所以就有Bn
再问: 代入Bn的递推式,得 B(n+1)=Bn/(3^(2^(n-1))+1)是怎么回事呢?Bn
C(n+1)=A(n+1)-B(n+1)=An^2/(An+Bn)-Bn^2/(An+Bn)=(An^2-Bn^2)/(An+Bn)=An-Bn=Cn.
即Cn为常数列.又C1=A1-B1=2,所以Cn=2.
由An,Bn的递推式,两式相除(已知An,Bn任意一项不为0),得
A(n+1)/B(N+1)=(An/Bn)^2.
由数学归纳法,可证A(n+1)/B(n+1)=(A1/B1)^(2^n)=3^(2^n).
代入Bn的递推式,得
B(n+1)=Bn/(3^(2^(n-1))+1)=…=B1/[(3^2+1)*(3*4+1)*(3^8+1)…*(3^(2^(n-1))+1)].
显然Bn为正数列,所以Sn是递增的.
下面证明Bn1.
注意到,(3^2+1)*(3*4+1)*(3^8+1)…*(3^(2^(n-2))+1)>(3^2)*3*3*…*3=3^(n-1).
所以就有Bn
再问: 代入Bn的递推式,得 B(n+1)=Bn/(3^(2^(n-1))+1)是怎么回事呢?Bn
数列an中,a1=3,an=(3an-1-2)/an-1,数列bn满足bn=an-2/1-an,证明bn是等比数列 2.
已知数列{an},如果数列{bn}满足b1=a1,bn=an+a(n-1)则称数列{bn}是数列{an}的生成数列
已知数列{an}、{bn}满足:a1=1/4,an+bn=1,bn+1=bn/1-an^2.求{bn}通项公式
在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈
在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n
数列an,bn满足a1=b1=1,an+1-an=bn+1/bn=2,则数列ban的前10项和为
已知数列{an}、{bn}满足:a1=1/4,an+bn=1,bn+1=bn/1-an^2 (1)求{an}的通项公式
设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1等比数列且a1=1,
设数列{An}{Bn} 满足A1=B1= A2=B2=6 A3=B3=5且{An+1-An}是等差数列{Bn+1-Bn}
(an+bn)/[根号下(an²+bn²)]=[1+(bn/an)]/根号下[1+(bn/an)
数列{an}和{bn}满足a1=1 a2=2 an>0 bn=根号an*an+1
设数列{an}、{bn}满足:a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1-an}是等差数列,{bn