∫∫(D) ( R2-x2-y2 )1/2 dxdy ,其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域.

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 07:04:24

∫∫(D) ( R2-x2-y2 )1/2 dxdy ,其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域.
显然用极坐标解：
解法1：可得所求二重积分=∫（-π/2 ,π/2）dθ ∫（0 ,Rcosθ） r(R2-r2)1/2dr=πR3/3,
解法2：由对称性,上式又=2∫（0 ,π/2）dθ ∫（0 ,Rcosθ） r(R2-r2)1/2dr=R3/3(π-4/3).
为什么这两个式子得出的结果不一样,明明应该是相等的.
这个R2等等是指R的平方，显示不出来~
确定这个对称性是存在的，区域关于x轴对称，函数是关于y的偶函数（对称性的这个是答案上的做法）。

πR3/3是错了,你算错了,
因为=-(1/2)(2/3)∫[-π/2→π/2] (R²-r²)^(3/2) |[0→Rcosθ] dθ
=(1/3)∫[-π/2→π/2] (R³-R³|sinθ|³) dθ 注意要取绝对值!
∫∫ √(R²-x²-y²) dxdy
=∫∫ r√(R²-r²) drdθ
=∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] r√(R²-r²) dr
=(1/2)∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R²-r²) d(r²)
=-(1/2)(2/3)∫[-π/2→π/2] (R²-r²)^(3/2) |[0→Rcosθ] dθ
=(1/3)∫[-π/2→π/2] (R³-R³|sinθ|³) dθ
=(2R³/3)∫[0→π/2] (1-sin³θ) dθ
=(2R³/3)[∫[0→π/2] 1 dθ - ∫[0→π/2] sin³θ dθ]
=(2R³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] (1-cos²θ) d(cosθ)]
=(2R³/3)[π/2 + cosθ - (1/3)cos³θ] |[0→π/2]
=(2R³/3)[π/2 -1 + 1/3]
=(2R³/3)[π/2 - 2/3]
=(R³/3)[π - 4/3]

利用极坐标求积分∫∫(x2+y2)dxdy 其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a及y=3a(a>0)所围成的区域求二重积分∫∫√(x2+y2)dxdy其中积分区域{(x,y)|x2+y2 计算二重数积分D∫∫sin√(x2+y2) dxdy,其中D为{(x,y| π2≤x2+y2≤4π2}. 利用球坐标求积分x2+y2+z2,其中区域是锥面z=x2+y2开根号与球面x2+y2+z2=r2所求二重积分∫∫根号下（R^2 -X^2-Y^2）dxdy,其中积分区域D为圆周X^2+Y^2=RX. 计算二重积分∫∫D(2x+3y)dxdy,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2 所围成的闭区域设Ω是由曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所围成的有界闭区域，求Ω的体积．计算二重积分∫∫D(sinx/x)dxdy,其中D是由0≤x≤1,0≤y≤x所围成的闭区域计算二次积分∫∫(x+2y)dxdy,其中D是由y=x^2及y=√x所围成的闭区域求二重积分∫∫xsin(y/x)dxdy,其中D是由y=x,x=1,y=0所围成的闭区域 ∫∫e^(y-x/y+x)dxdy,其中d是由x轴,y轴和直线x+y=2所围成的闭区域计算二重积分 ∫∫x^2dxdy 其中D是由椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 所围成的区域