给定平面上的点集P={P1,P2,…,P1994},P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组,使得每组至少有3
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/28 23:34:14
给定平面上的点集P={P1,P2,…,P1994},P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组,使得每组至少有3个点,且每点恰好属于一组,然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G,不同的分组方式得到不同的图案,将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G).
(1)求m(G)的最小值m0.
(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案,若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形.
(1)求m(G)的最小值m0.
(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案,若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形.
(1)设G中分成的83个子集的元素个数分别为ni(1≤i≤83),
83
i=1n1=1994.且3≤n1≤n2≤…≤n83.
则m(G)=
83
i=1
C3n.即求此式的最小值.
设nk+1>nk+1,即nk+1-1≥nk+1,则
C3ni+1+
C3ni−1-(
C3ni+
C3ni+1)=
C2ni-
C2ni+1<0.
这就是说,当nk+1与nk的差大于1时,
可用nk+1-1及nk+1代替nk+1及nk,而其余的数不变.此时,m(G)的值变小.
于是可知,只有当各ni的值相差不超过1时,m(G)才能取得最小值.
∵1994=83×24+2,∴当81组中有24个点,2组中有25个点时,m(G)达到最小值.
∴m0=81
C324+2
C325=81×2024+2×2300=168544.
(2)取5个点为一小组,按图1染成a、b二色,共五个小组;如图2,每个小圆表示一个五点小组.
同组间染色如图1,不同组的点间的连线按图2染成c、d两色.
这25个点为一组,共得83组,染色法相同.
其中81组去掉1个点及与此点相连的所有线,即得一种满足要求的染色
即存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形.
83
i=1n1=1994.且3≤n1≤n2≤…≤n83.
则m(G)=
83
i=1
C3n.即求此式的最小值.
设nk+1>nk+1,即nk+1-1≥nk+1,则
C3ni+1+
C3ni−1-(
C3ni+
C3ni+1)=
C2ni-
C2ni+1<0.
这就是说,当nk+1与nk的差大于1时,
可用nk+1-1及nk+1代替nk+1及nk,而其余的数不变.此时,m(G)的值变小.
于是可知,只有当各ni的值相差不超过1时,m(G)才能取得最小值.
∵1994=83×24+2,∴当81组中有24个点,2组中有25个点时,m(G)达到最小值.
∴m0=81
C324+2
C325=81×2024+2×2300=168544.
(2)取5个点为一小组,按图1染成a、b二色,共五个小组;如图2,每个小圆表示一个五点小组.
同组间染色如图1,不同组的点间的连线按图2染成c、d两色.
这25个点为一组,共得83组,染色法相同.
其中81组去掉1个点及与此点相连的所有线,即得一种满足要求的染色
即存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形.
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