f'(x)在[0,+∞)上单调增加,且f(0)=0,证函数F(x)=f(x)/x在(0,+∞)上单调增加
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 05:23:00
f'(x)在[0,+∞)上单调增加,且f(0)=0,证函数F(x)=f(x)/x在(0,+∞)上单调增加
F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²
令g(x)=xf'(x)-f(x),则g(0)=0-f(0)=0
g'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)
因为f'(x)在[0,+∞)上增,所以
当x∈[0,+∞)时,有f''(x)≥0,从而 g'(x)=xf''(x)≥0
所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数,所以
当x>0时,有g(x)>g(0)=0
从而 F'(x)=g(x)/x²>0,
即F(x)在(0,+∞)上单调增加.
令g(x)=xf'(x)-f(x),则g(0)=0-f(0)=0
g'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)
因为f'(x)在[0,+∞)上增,所以
当x∈[0,+∞)时,有f''(x)≥0,从而 g'(x)=xf''(x)≥0
所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数,所以
当x>0时,有g(x)>g(0)=0
从而 F'(x)=g(x)/x²>0,
即F(x)在(0,+∞)上单调增加.
设f'(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x)=0,证明F(x)=f(x)/x在(0,+∞)上单调增加
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设函数y=f(x)是定义在(0,正无穷大)上的单调函数,且f(x/y)=f(x)-f(y)
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