证明y=3x²的极限
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/10 05:18:14
证明y=3x²的极限
在(-无穷大,+无穷大)
错了,证明y=3x²的连续性
在(-无穷大,+无穷大)
错了,证明y=3x²的连续性
郭敦顒回答:
证明y=3x²的连续性,这涉及到函数连续性的基本概念(定义):
设函数y= f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果当自变量的增量Δx→0时,对应的函数的增量Δy→0,则称函数y= f(x)在点x0处连续,记为
Δx→0,limΔy→0
若设x= x 0 +Δx,则Δx→0就是x→x 0,又由于
Δy= f(x 0 +Δx)-f(x0)=f(x)-f(x0),
即f(x)=f(x0)+Δy,
可见,Δy→0就是f(x)→f(x0),即
x→x0,limf(x)=f(x0).
上式又可将函数在点x0处连续的定义叙述为:
设函数y= f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当x→x0时,函数f(x)的极限存在,并且等于函数在x 0处的函数值f(x 0),则称y= f(x)在点x0函数处连续.
以上是两种关于函数在点x0处连续性的等价定义.
如果函数y= f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,则称y= f(x)在(a,b)内连续;如果函数y= f(x)在开区间(a,b)内连续且在左端点a右连续,右端点b左连续,则称y= f(x)在闭区间[a,b]上连续.
使函数连续的区间称为连续区间.
连续函数的图形是一条没有间隙的连续曲线.
函数y=3x²的定义域为(-∞,+∞),
在区间(-∞,+∞)存在自变量的任一点x0,
设x=x0+Δx,
则y=3(x0+Δx)2=3x02+6x0•Δx+(Δx)2,
当Δx→0时,x→x0,y=3x02+6x0•Δx+(Δx)2→3x02,
y→3x02;
或Δy=3(x0+Δx)2-3x02=6x0•Δx+(Δx)2,
当Δx→0时,Δy→0,
即Δx→0,limΔy→0,
∴函数y=3x²在点x0处连续,
而x0是开区间(-∞,+∞)内的任一点,所以在开区间(-∞,+∞)内每一点都连续,
∴函数y=3x²在开区间(-∞,+∞)内连续.
证明y=3x²的连续性,这涉及到函数连续性的基本概念(定义):
设函数y= f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果当自变量的增量Δx→0时,对应的函数的增量Δy→0,则称函数y= f(x)在点x0处连续,记为
Δx→0,limΔy→0
若设x= x 0 +Δx,则Δx→0就是x→x 0,又由于
Δy= f(x 0 +Δx)-f(x0)=f(x)-f(x0),
即f(x)=f(x0)+Δy,
可见,Δy→0就是f(x)→f(x0),即
x→x0,limf(x)=f(x0).
上式又可将函数在点x0处连续的定义叙述为:
设函数y= f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当x→x0时,函数f(x)的极限存在,并且等于函数在x 0处的函数值f(x 0),则称y= f(x)在点x0函数处连续.
以上是两种关于函数在点x0处连续性的等价定义.
如果函数y= f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,则称y= f(x)在(a,b)内连续;如果函数y= f(x)在开区间(a,b)内连续且在左端点a右连续,右端点b左连续,则称y= f(x)在闭区间[a,b]上连续.
使函数连续的区间称为连续区间.
连续函数的图形是一条没有间隙的连续曲线.
函数y=3x²的定义域为(-∞,+∞),
在区间(-∞,+∞)存在自变量的任一点x0,
设x=x0+Δx,
则y=3(x0+Δx)2=3x02+6x0•Δx+(Δx)2,
当Δx→0时,x→x0,y=3x02+6x0•Δx+(Δx)2→3x02,
y→3x02;
或Δy=3(x0+Δx)2-3x02=6x0•Δx+(Δx)2,
当Δx→0时,Δy→0,
即Δx→0,limΔy→0,
∴函数y=3x²在点x0处连续,
而x0是开区间(-∞,+∞)内的任一点,所以在开区间(-∞,+∞)内每一点都连续,
∴函数y=3x²在开区间(-∞,+∞)内连续.
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