大师作文网（2013•下城区二模）已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-1，0），B（3，0），交y轴于点C，M为抛物线的顶点
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/13 01:36:41
（2013•下城区二模）已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-1，0），B（3，0），交y轴于点C，M为抛物线的顶点，连接MB．（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P满足△PBM是直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设Q点的坐标为（8，0），将该抛物线绕点Q旋转180°后，点M的对应点为M′，求∠MBM′的度数．
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-1，0），B（3，0）
∴
0＝a−b+3
0＝9a+3b+3，
解得：
a＝−1
b＝2，
∴y=-x2+2x+3；
∴y=-（x-1）2+4，
∴M（1，4）．
（2）设点P的坐标为（0，y），
①若∠MPB=90°，如图1，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，
∴∠MFP=∠BOP=90°．
∵∠MPB=90°，
∴∠MPF=∠PBO，
∴Rt△PFM∽Rt△BOP，
∴
PF
BO＝
FM
PO．
∴
4−y
3＝
1
y，
解得：y1=1，y2=3
∴点P的坐标为（0，1），（0，3）；
②若∠PMB=90°，如图2，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，
同理，Rt△PFM∽Rt△BEM，
∴
4−y
2＝
1
4，
解得：y=
7
2
∴点P的坐标为 （0，
7
2）
③若∠MBP=90，如图3，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，
同理，Rt△POB∽Rt△BEM，
∴
−y
2＝
3
4，
解得：y=-
3
2，
∴点P的坐标为 （0，-
3
2）．
综上：△PBM是直角三角形时，P点的坐标为（0，1），（0，3），（0，
7
2），（0，-
∴
0＝a−b+3
0＝9a+3b+3，
解得：
a＝−1
b＝2，
∴y=-x2+2x+3；
∴y=-（x-1）2+4，
∴M（1，4）．
（2）设点P的坐标为（0，y），
①若∠MPB=90°，如图1，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，
∴∠MFP=∠BOP=90°．
∵∠MPB=90°，
∴∠MPF=∠PBO，
∴Rt△PFM∽Rt△BOP，
∴
PF
BO＝
FM
PO．
∴
4−y
3＝
1
y，
解得：y1=1，y2=3
∴点P的坐标为（0，1），（0，3）；
②若∠PMB=90°，如图2，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，
同理，Rt△PFM∽Rt△BEM，
∴
4−y
2＝
1
4，
解得：y=
7
2
∴点P的坐标为 （0，
7
2）
③若∠MBP=90，如图3，过点M作ME⊥x轴，MF⊥y轴，
同理，Rt△POB∽Rt△BEM，
∴
−y
2＝
3
4，
解得：y=-
3
2，
∴点P的坐标为 （0，-
3
2）．
综上：△PBM是直角三角形时，P点的坐标为（0，1），（0，3），（0，
7
2），（0，-
（2013•下城区二模）已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-1，0），B（3，0），交y轴于点C，M为抛物线的顶点
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