在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=2an+2^(n+1),n∈N+,
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/29 05:27:23
在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=2an+2^(n+1),n∈N+,
1)求数列{an}的通项公式
2)求数列{an}的前n项和Sn
3)证明存在k∈N+,使得a(n+1)/an
1)求数列{an}的通项公式
2)求数列{an}的前n项和Sn
3)证明存在k∈N+,使得a(n+1)/an
(1)∵a[n+1]=2a[n]+2^[n+1],n∈N+
∴两边同除以2^[n+1],得:
a[n+1]/2^(n+1)-a[n]/2^n=1
∵a[1]=2
∴{a[n]/2^n}是首项为a[1]/2^1=1,公差也为1的等差数列
即:a[n]/2^n=1+(n-1)=n
∴数列{an}的通项公式是:a[n]=n2^n
(2)∵S[n]=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n2^n
∴2S[n]=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+n2^(n+1)
将上面两式相减,得:
S[n]=n2^(n+1)-{2^1+2^2+2^3+...+2^n}
=n2^(n+1)-2(2^n-1)
=n2^(n+1)-2^(n+1)+2
=(n-1)2^(n+1)+2
∴数列{a[n]}的前n项和S[n]=(n-1)2^(n+1)+2
(3)∵a[n+1]/a[n]=[(n+1)2^(n+1)]/(n2^n)=2(n+1)/n=2(1+1/n)
且由n∈N+知:n≥1,即:1/n≤1
∴存在k=1,使得:2(1+1/n)≤2(1+1)=4
即:存在k=1,使得a[n+1]/a[n]
∴两边同除以2^[n+1],得:
a[n+1]/2^(n+1)-a[n]/2^n=1
∵a[1]=2
∴{a[n]/2^n}是首项为a[1]/2^1=1,公差也为1的等差数列
即:a[n]/2^n=1+(n-1)=n
∴数列{an}的通项公式是:a[n]=n2^n
(2)∵S[n]=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n2^n
∴2S[n]=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+n2^(n+1)
将上面两式相减,得:
S[n]=n2^(n+1)-{2^1+2^2+2^3+...+2^n}
=n2^(n+1)-2(2^n-1)
=n2^(n+1)-2^(n+1)+2
=(n-1)2^(n+1)+2
∴数列{a[n]}的前n项和S[n]=(n-1)2^(n+1)+2
(3)∵a[n+1]/a[n]=[(n+1)2^(n+1)]/(n2^n)=2(n+1)/n=2(1+1/n)
且由n∈N+知:n≥1,即:1/n≤1
∴存在k=1,使得:2(1+1/n)≤2(1+1)=4
即:存在k=1,使得a[n+1]/a[n]
在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1(n为正整数),证明数列{an-n}是等比数列
在数列{An}中,已知An+A(n+1)=2n (n∈N*)
在数列an中,a1=1,且满足a(n+1)=3an +2n,求an
在数列{an}中,a1=3,an=-a(n-1)-2n-1(n大等于2,且n属于N正)
在数列{an}中,a1=1,an+1=[(n+1)/n]*an+2(n+1),设bn=an/n,(1)证明数列{bn}是
已知在数列{an}中,a1=1,-2an+a(n-1)-1=0(n≥2,n∈N*)
已知数列{an}中,a1=1,anan+1=2n(n∈N*)
1 在数列an中,已知 a1=1,a2=5,an+2=a(n+1)-an (n∈N)则a2009是多少
在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=an+ln(1+1/n)
已知数列{an}中,a1=1,an+a(n+1)=2^n(n∈N*),bn=3an
数列证明,求通项公式已知数列{an}中,a1=1/3,an*a(n-1)=a(n-1)-an(n>=2,n属于正整数),
在数列{an}中,a1=1,an=2(an-1-1)+n(n≥2,n∈N*)