已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x3+mx2-nx(m,n为实数).
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 16:32:32
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x3+mx2-nx(m,n为实数).
(1)若x=1是函数y=g(x)的一个极值点,求m与n的关系式;
(2)在(1)的条件下,求函数g(x)的单调递增区间;
(3)若关于x的不等式2f(x)≤g'(x)+1+n的解集为P,且(0,+∞)⊆P,求实数m的取值范围.
(1)若x=1是函数y=g(x)的一个极值点,求m与n的关系式;
(2)在(1)的条件下,求函数g(x)的单调递增区间;
(3)若关于x的不等式2f(x)≤g'(x)+1+n的解集为P,且(0,+∞)⊆P,求实数m的取值范围.
(1)g'(x)=3x2+2mx-n,
由题意得
g′(1)=0
4m2+12n>0,∴n=2m+3(m≠-3).
(2)由(1)知:g'(x)=3x2+2mx-(2m+3)=(x-1)[3x+(2m+3)],
令g'(x)=0,得x1=1,x2=−1−
2m
3(m≠−3)
①当1>−1−
2m
3,即m>-3时,由g'(x)>0得x<−1−
2m
3或x>1,
∴g(x)的单调递增区间是(−∞,−1−
2m
3),(1,+∞);
②当1<−1−
2m
3,即m<-3时,由g'(x)>0得x<1或x>−1−
2m
3,
∴g(x)的单调递增区间是(−∞,1),(−1−
2m
3,+∞).
(3)由(0,+∞)⊆P得2f(x)≤g'(x)+1+n在x∈(0,+∞)上恒成立,
即:2xlnx≤3x2+2mx+1在x∈(0,+∞)上恒成立,
可得m≥lnx−
3
2x−
1
2x在x∈(0,+∞)上恒成立,
设h(x)=lnx−
3
2x−
1
2x,
则h′(x)=
1
x−
3
2+
1
2x2=−
(x−1)(3x+1)
2x2,
令h'(x)=0,得x=1,x=−
1
3(舍),
∵当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增;
当x>1时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,h(x)取得最大值,h(x)max=-2,
∴m≥-2,即m的取值范围是[-2,+∞)
由题意得
g′(1)=0
4m2+12n>0,∴n=2m+3(m≠-3).
(2)由(1)知:g'(x)=3x2+2mx-(2m+3)=(x-1)[3x+(2m+3)],
令g'(x)=0,得x1=1,x2=−1−
2m
3(m≠−3)
①当1>−1−
2m
3,即m>-3时,由g'(x)>0得x<−1−
2m
3或x>1,
∴g(x)的单调递增区间是(−∞,−1−
2m
3),(1,+∞);
②当1<−1−
2m
3,即m<-3时,由g'(x)>0得x<1或x>−1−
2m
3,
∴g(x)的单调递增区间是(−∞,1),(−1−
2m
3,+∞).
(3)由(0,+∞)⊆P得2f(x)≤g'(x)+1+n在x∈(0,+∞)上恒成立,
即:2xlnx≤3x2+2mx+1在x∈(0,+∞)上恒成立,
可得m≥lnx−
3
2x−
1
2x在x∈(0,+∞)上恒成立,
设h(x)=lnx−
3
2x−
1
2x,
则h′(x)=
1
x−
3
2+
1
2x2=−
(x−1)(3x+1)
2x2,
令h'(x)=0,得x=1,x=−
1
3(舍),
∵当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增;
当x>1时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,h(x)取得最大值,h(x)max=-2,
∴m≥-2,即m的取值范围是[-2,+∞)
已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.
已知函数f(x)=x3+mx2-m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9,求m的值.
已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)至少有一个为正数,则
已知函数f(x)=x3+mx2-m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9.
(2014•红桥区二模)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).
已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1在x=负三分之二与x=1处都取得极值,求实数m,n的值和函数f(x)的单调递减区
已知函数f(x)=xlnx
已知函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m范围为______.
已知函数f(x)=x3 mx2 nx 1在x=-2/3与x=1处取得极值;1)求实数m.n的值2)f(x)的单调递减区间
设f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3.
设f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3.
已知二次函数f(x)=mx2+(m-3)x+1,对于任意实数x,恒有f(x)≤f(m)(m为常数),求m的值.