在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2-6x+4y+9=0,圆C2:(x+m)2+(y+m+5)2=2m2+8
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/23 23:36:28
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2-6x+4y+9=0,圆C2:(x+m)2+(y+m+5)2=2m2+8m+10(m∈R,且m≠-3).
(Ⅰ)若m=5时,试求圆C1与圆C2的交点个数;
(Ⅱ)设P为坐标轴上的点,满足:过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线,切点分别为T1、T2,使得PT1=PT2,试求出所有满足条件的点P的坐标;
(Ⅲ)若斜率为k的直线l平分圆C1,且满足直线l与圆C2总相交,求直线l斜率k的范围.
(Ⅰ)若m=5时,试求圆C1与圆C2的交点个数;
(Ⅱ)设P为坐标轴上的点,满足:过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线,切点分别为T1、T2,使得PT1=PT2,试求出所有满足条件的点P的坐标;
(Ⅲ)若斜率为k的直线l平分圆C1,且满足直线l与圆C2总相交,求直线l斜率k的范围.
(1)若m=5时,圆C1即:(x-3)2+(y+2)2 =4,圆C2:(x+5)2+(y+10)2=100,圆心距C1C2=8
2∈(8,12),
∴两圆相交,交点个数为2个.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),圆C1与圆C2的半径分别为r1、r2,由题意得PC12−r12=PC22−r22,
即 [(x0−3)2+(y0+2)2]−4=[(x0+m)2+(y0+m+5)2]−(2m2+8m+10),化简得x0+y0+1=0,
因为P为坐标轴上的点,所以点P的坐标为(0,-1)或(-1,0).
(3)依题意可知,直线l经过点C1 (3,-2),设直线l的方程为:y+2=k(x-3),化简得kx-y-3k-2=0,
则圆心C2(-m,-m-5)到直线l的距离为
|k−1|•|m+3|
k2+1,又圆C2的半径为
2m2+8m+10,
所以,“直线l与圆C2总相交”等价于“∀m∈R,且m≠-3,
|k−1|•|m+3|
k2+1<
2m2+8m+10,即
|k−1|
k2+1<
2m2+8m+10
(m+3)2①”.
记y=
2m2+8m+10
(m+3)2,整理得(y-2)m2+2(3y-4)m+9y-10=0,
当y=2时,m=-2;
当y≠2时,判别式△=[2(3y-4)]2-4(y-2)(9y-10)≥0,解得y≥1.
综上得y=
2m2+8m+10
(m+3)2,m≠-3的最小值为1,
所以,①式等价于
|k−1|
k2+1<1,等价于k>0.
2∈(8,12),
∴两圆相交,交点个数为2个.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),圆C1与圆C2的半径分别为r1、r2,由题意得PC12−r12=PC22−r22,
即 [(x0−3)2+(y0+2)2]−4=[(x0+m)2+(y0+m+5)2]−(2m2+8m+10),化简得x0+y0+1=0,
因为P为坐标轴上的点,所以点P的坐标为(0,-1)或(-1,0).
(3)依题意可知,直线l经过点C1 (3,-2),设直线l的方程为:y+2=k(x-3),化简得kx-y-3k-2=0,
则圆心C2(-m,-m-5)到直线l的距离为
|k−1|•|m+3|
k2+1,又圆C2的半径为
2m2+8m+10,
所以,“直线l与圆C2总相交”等价于“∀m∈R,且m≠-3,
|k−1|•|m+3|
k2+1<
2m2+8m+10,即
|k−1|
k2+1<
2m2+8m+10
(m+3)2①”.
记y=
2m2+8m+10
(m+3)2,整理得(y-2)m2+2(3y-4)m+9y-10=0,
当y=2时,m=-2;
当y≠2时,判别式△=[2(3y-4)]2-4(y-2)(9y-10)≥0,解得y≥1.
综上得y=
2m2+8m+10
(m+3)2,m≠-3的最小值为1,
所以,①式等价于
|k−1|
k2+1<1,等价于k>0.
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