(2013•德州二模)已知函数f(x)=a(x2-2x+1)+1nx+1.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/21 13:40:15
(2013•德州二模)已知函数f(x)=a(x2-2x+1)+1nx+1.
(I)当a=−
(I)当a=−
1 |
4 |
(I)当a=−
1
4时,f(x)=−
1
4(x2-2x+1)+1nx+1
∴f′(x)=−
(x−2)(x+1)
2x
∵x>0,x+1>0
∴当0<x<2时,f′(x)>0,当x>2时,f′(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞);
(II)当x≥1时,a(x2-2x+1)+1nx+1≥x恒成立,即当x≥1时,a(x2-2x+1)+1nx-x+1≥0恒成立
令h(x)=a(x2-2x+1)+1nx-x+1,只需h(x)≥0即可
求导函数,可得h′(x)=
(2ax−1)(x−1)
x(x>1)
(1)若a≤0,∵x>1时,h′(x)<0
∴h(x)在(1,+∞)上单调递减
∴h(x)≤h(1)=0,不满足题意;
(2)若a>0,令h′(x)=0,可得x=
1
2a
①0<
1
2a≤1,即a≥
1
2时,h(x)在(1,+∞)上为增函数
∴x≥1时,h(x)≥h(1)=0,满足题意;
②
1
2a>1,即0<a<
1
2,h(x)在(1,
1
2a)上单调递减
∴1<x<
1
2a时,h(x)≤h(1)=0,不满足题意;
综上,a的取值范围是[
1
2,+∞).
1
4时,f(x)=−
1
4(x2-2x+1)+1nx+1
∴f′(x)=−
(x−2)(x+1)
2x
∵x>0,x+1>0
∴当0<x<2时,f′(x)>0,当x>2时,f′(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞);
(II)当x≥1时,a(x2-2x+1)+1nx+1≥x恒成立,即当x≥1时,a(x2-2x+1)+1nx-x+1≥0恒成立
令h(x)=a(x2-2x+1)+1nx-x+1,只需h(x)≥0即可
求导函数,可得h′(x)=
(2ax−1)(x−1)
x(x>1)
(1)若a≤0,∵x>1时,h′(x)<0
∴h(x)在(1,+∞)上单调递减
∴h(x)≤h(1)=0,不满足题意;
(2)若a>0,令h′(x)=0,可得x=
1
2a
①0<
1
2a≤1,即a≥
1
2时,h(x)在(1,+∞)上为增函数
∴x≥1时,h(x)≥h(1)=0,满足题意;
②
1
2a>1,即0<a<
1
2,h(x)在(1,
1
2a)上单调递减
∴1<x<
1
2a时,h(x)≤h(1)=0,不满足题意;
综上,a的取值范围是[
1
2,+∞).
(2013•德州二模)已知函数f(x)=a(x2-2x+1)+1nx+1.
(2013•德州二模)已知向量a=(2cosωx,-1),b=(3sinωx+cosωx,1)(ω>0),函数f(x)=
(2013•宜宾二模)已知函数f(x)=−x2−2x+a(x<0)f(x−1)(x≥0),且函数y=f(x)-x恰有3个
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已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,(x∈R).
(2013•和平区二模)已知函数f(x)=lnx+x2-ax.
已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.