大师作文网认真阅读材料,然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/05 16:27:25
认真阅读材料,然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,
认真阅读材料,然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如：（a+b）1=a+b,（a+b）2=a2+2ab+b2,（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3,…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数是可以单独列成表中的形式：
(a+b)^1……………………… 1 1(a+b)^2……………………… 1 2 1(a+b)^3……………………1 3 3 1(a+b)^4…………………1 4 6 4 1
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料,推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S,（结果用含字母n的代数式表示）．
认真阅读材料,然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如：（a+b）1=a+b,（a+b）2=a2+2ab+b2,（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3,…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数是可以单独列成表中的形式：
(a+b)^1……………………… 1 1(a+b)^2……………………… 1 2 1(a+b)^3……………………1 3 3 1(a+b)^4…………………1 4 6 4 1
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料,推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S,（结果用含字母n的代数式表示）．
（1）∵当n=1时,多项式（a+b）1的展开式是一次二项式,此时第三项的系数为：0=（1×0）/2 ,
当n=2时,多项式（a+b）2的展开式是二次三项式,此时第三项的系数为：1=(2×1)/2 ,
当n=3时,多项式（a+b）3的展开式是三次四项式,此时第三项的系数为：3=(3×2)/2 ,
当n=4时,多项式（a+b）4的展开式是四次五项式,此时第三项的系数为：6=(4×3)/2 ,
….
∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式,第三项的系数为：
n(n-1)/2
（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；
（3）∵当n=1时,多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21,
当n=2时,多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22,
当n=3时,多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23,
当n=4时,多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24,
…
∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n．
再问： 那这个问题呢？请根据上面的规律计算：2^5-(-5)*2^4+10*2^3-(-10)*2^2+5*2-(-1)^5
再答： 原式=(2-1)^5 杨辉三角：(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5 =1^5 =1
再问： 恩……能大概解释下吗？我还是不太明白~，还有，为什么我拿计算器算出来是243？
再答： 先化简：2^5-2^4-4*2^4+4*2^3+6*2^3-6*2^2-4*2^2+4*2+2-1=2^4（2-1）-4*2^3（2-1）+6*2^2（2-1）-4*2（2-1）+（2-1）=（2-1）*（2^4-4*2^3+6*2^2-4*2+1）； 再化简：2^4-4*2^3+6*2^2-4*2+1=2^4-2^3-3*2^3+3*2^2+3*2^2-3*2-2+1=2^3（2-1）-3*2^2（2-1）+3*2（2-1）-（2-1）=（2-1）*（2^3-3*2^2+3*2-1）； 再化简：2^3-3*2^2+3*2-1=2^3-2^2-2^2+2*2+2-1=2^2*（2-1）-2*2（2-1）+（2-1）=（2-1）*（2^2-2*2+1）=（2-1）*（2-1）^2=（2-1）^3； 联合上面三式得原式=（2-1）^5.
当n=2时,多项式（a+b）2的展开式是二次三项式,此时第三项的系数为：1=(2×1)/2 ,
当n=3时,多项式（a+b）3的展开式是三次四项式,此时第三项的系数为：3=(3×2)/2 ,
当n=4时,多项式（a+b）4的展开式是四次五项式,此时第三项的系数为：6=(4×3)/2 ,
….
∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式,第三项的系数为：
n(n-1)/2
（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；
（3）∵当n=1时,多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21,
当n=2时,多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22,
当n=3时,多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23,
当n=4时,多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24,
…
∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n．
再问： 那这个问题呢？请根据上面的规律计算：2^5-(-5)*2^4+10*2^3-(-10)*2^2+5*2-(-1)^5
再答： 原式=(2-1)^5 杨辉三角：(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5 =1^5 =1
再问： 恩……能大概解释下吗？我还是不太明白~，还有，为什么我拿计算器算出来是243？
再答： 先化简：2^5-2^4-4*2^4+4*2^3+6*2^3-6*2^2-4*2^2+4*2+2-1=2^4（2-1）-4*2^3（2-1）+6*2^2（2-1）-4*2（2-1）+（2-1）=（2-1）*（2^4-4*2^3+6*2^2-4*2+1）； 再化简：2^4-4*2^3+6*2^2-4*2+1=2^4-2^3-3*2^3+3*2^2+3*2^2-3*2-2+1=2^3（2-1）-3*2^2（2-1）+3*2（2-1）-（2-1）=（2-1）*（2^3-3*2^2+3*2-1）； 再化简：2^3-3*2^2+3*2-1=2^3-2^2-2^2+2*2+2-1=2^2*（2-1）-2*2（2-1）+（2-1）=（2-1）*（2^2-2*2+1）=（2-1）*（2-1）^2=（2-1）^3； 联合上面三式得原式=（2-1）^5.