大师作文网大学微积分,求极限的题目,求教!
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 01:17:26
大学微积分,求极限的题目,求教!
属1^∞型极限,须用罗必塔法则,n为整数不能进行求导运算,故须化离散型变量n∈Z为连续性变量x∈R（由归结原则是可以这样进行的）,最后还运用了sinx的泰勒展开式：
lim(n→∞){[ntan(1/n)]^n²}
=lim(n→∞)e^{n²ln[ntan(1/n)]}
=lim(x→0)e^{【ln[(tanx)/x]】/x²}
=lim(x→0)e^{【ln[(tanx)/x]】'/(x²)'}
=lim(x→0)e^{[(xsec²x-tanx)/(xtanx)]/(2x)}
=lim(x→0)e^[(xsec²x-tanx)/(2x²tanx)]
=lim(x→0)e^[(x-sinxcosx)/(2x²sinxcosx)]
=lim(x→0)e^[(2x-sin2x)/(2x²sin2x)]
=lim(x→0)e^{[2x-(2x)+(1/3!)(2x)³-o(x³)]/2x²[(2x)-(1/3!)(2x)³+o(x³)]}
=lim(x→0)e^{[(4/3)x³-o(x³)]/[4x³-(8/3)x⁵+o(x⁵)]}
=lim(x→0)e^{[(4/3)-o(1)]/[4-(8/3)x²+o(x²)]}
=e^(1/3)
再问：
再问： 书上是这么解的，但是我总觉得有问题，用第二极限的条件是1的无穷次方，可是(tant-t)/t是0/0未定式
再答： 书上的也没有问题，(tant-t)/t是0/0未定式，但按未定式分子分母求导后极限为0,或者把tant展成泰勒式也可得极限为0,故整体确实是无穷小量，所以别怀疑书上解的正确性！好运
lim(n→∞){[ntan(1/n)]^n²}
=lim(n→∞)e^{n²ln[ntan(1/n)]}
=lim(x→0)e^{【ln[(tanx)/x]】/x²}
=lim(x→0)e^{【ln[(tanx)/x]】'/(x²)'}
=lim(x→0)e^{[(xsec²x-tanx)/(xtanx)]/(2x)}
=lim(x→0)e^[(xsec²x-tanx)/(2x²tanx)]
=lim(x→0)e^[(x-sinxcosx)/(2x²sinxcosx)]
=lim(x→0)e^[(2x-sin2x)/(2x²sin2x)]
=lim(x→0)e^{[2x-(2x)+(1/3!)(2x)³-o(x³)]/2x²[(2x)-(1/3!)(2x)³+o(x³)]}
=lim(x→0)e^{[(4/3)x³-o(x³)]/[4x³-(8/3)x⁵+o(x⁵)]}
=lim(x→0)e^{[(4/3)-o(1)]/[4-(8/3)x²+o(x²)]}
=e^(1/3)
再问：
再问： 书上是这么解的，但是我总觉得有问题，用第二极限的条件是1的无穷次方，可是(tant-t)/t是0/0未定式
再答： 书上的也没有问题，(tant-t)/t是0/0未定式，但按未定式分子分母求导后极限为0,或者把tant展成泰勒式也可得极限为0,故整体确实是无穷小量，所以别怀疑书上解的正确性！好运