大师作文网一道关于线性代数 特征值,
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 19:58:37
一道关于线性代数 特征值,
题目是这样的：
设A为n阶实对称矩阵,且A³-A²+A-E=0
1.证明A是正定矩阵
2.能否由以上条件确定A具体是哪个矩阵?说明理由
我的困惑在于,我是想直接把A替换成λ,然后求的λ为正,所以是正定的.但是这样不能保证它所有特征值都为正呀?那正解应该如何呢?
题目是这样的：
设A为n阶实对称矩阵,且A³-A²+A-E=0
1.证明A是正定矩阵
2.能否由以上条件确定A具体是哪个矩阵?说明理由
我的困惑在于,我是想直接把A替换成λ,然后求的λ为正,所以是正定的.但是这样不能保证它所有特征值都为正呀?那正解应该如何呢?
首先：实对称矩阵的特征值都是实数(这是教材中的定理)
其次：实对称矩阵可以正交对角化,即存在正交矩阵U,使得U^TAU=E（单位矩阵)(这也是教材中的定理)
下面说明你所说的矩阵A实际上就是一个单位矩阵E.
设λ是矩阵A的任意一个特征值,对应的特征向量为α,于是
(A³-A²+A-E)α=(λ³-λ²+λ-1)α,
又(A³-A²+A-E)α＝0,所以(λ³-λ²+λ-1)α＝0,因为α是非零向量,所以必有
λ³-λ²+λ-1＝0,即(λ³+1)(λ-1)=0,由于特征值都是实数,所以必有λ＝1>0
根据上面的定理,矩阵A的所有特征值都是1,
当然是正定矩阵了.
再根据上面的定理一定存在正交矩阵U,使得
U^TAU=E(E的主对角元都是特征值),即有A=UEU^T=E.
再问： 嗯嗯~~~ 但是。。。只是通过上面的登时推出1是其特征值，可以保证全部特征就只是1了吗？
再答： 设λ是矩阵A的任意一个特征值. 注意“任意”二字了吗？
再问： 哦哦哦。。。。。 好的~~ 理解了。。。谢谢 O(∩_∩)O~
再答： 不客气的
其次：实对称矩阵可以正交对角化,即存在正交矩阵U,使得U^TAU=E（单位矩阵)(这也是教材中的定理)
下面说明你所说的矩阵A实际上就是一个单位矩阵E.
设λ是矩阵A的任意一个特征值,对应的特征向量为α,于是
(A³-A²+A-E)α=(λ³-λ²+λ-1)α,
又(A³-A²+A-E)α＝0,所以(λ³-λ²+λ-1)α＝0,因为α是非零向量,所以必有
λ³-λ²+λ-1＝0,即(λ³+1)(λ-1)=0,由于特征值都是实数,所以必有λ＝1>0
根据上面的定理,矩阵A的所有特征值都是1,
当然是正定矩阵了.
再根据上面的定理一定存在正交矩阵U,使得
U^TAU=E(E的主对角元都是特征值),即有A=UEU^T=E.
再问： 嗯嗯~~~ 但是。。。只是通过上面的登时推出1是其特征值，可以保证全部特征就只是1了吗？
再答： 设λ是矩阵A的任意一个特征值. 注意“任意”二字了吗？
再问： 哦哦哦。。。。。 好的~~ 理解了。。。谢谢 O(∩_∩)O~
再答： 不客气的