试证:有且仅有一个正整数n,使得2^1999+2^2000+2^2001+2^1994+2^n为完全平方数并求n的值

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 05:22:01

m = 2^1999+2^2000+2^2001+2^1994+2^n = (32+64+128+1)2^1994+2^n = 225·2^1994+2^n.
当n为奇数,可设n = 2k+1 (k为非负整数),有2^n = 2·4^k = 2(3+1)^k除以3余2.
又225被3整除,可知m = 225·2^1994+2^n除以3余2,不为完全平方数.
因此n必须为偶数,可设n = 2k (k为正整数).
当n ≤ 1994,m = 225·2^1994+2^n = 2^(2k)·(225·2^(1994-2k)+1).
若m为完全平方数,则225·2^(1994-2k)+1为完全平方数.
而225·2^(1994-2k) = (15·2^(997-k))²也是完全平方数,
即有两个相邻正整数都是完全平方数,矛盾 (1 = x²-y² = (x+y)(x-y)没有正整数解).
因此n ≤ 1994时,m不为完全平方数.
当n > 1994,m = 225·2^1994+2^n = 2^1994·(225+2^(2k-1994)).
m为完全平方数当且仅当225+2^(2k-1994)为完全平方数.
而2^(2k-1994) = (2^(k-997))²是完全平方数,
于是x = √m,y = 2^(k-997)是方程x²-y² = 225的正整数解.
由x,y均为正整数,有x > y,又(x-y)(x+y) = 225,可知x-y与x+y都是225的约数.
又x-y < x+y,可能的情况共有4种:x-y = 1,x+y = 225;
x-y = 3,x+y = 75;
x-y = 5,x+y = 45;
x-y = 9,x+y = 25.
分别对应y = 112,36,20,8.
其中只有y = 8是2的方幂,对应k-997 = 3,即k = 1000,也即n = 2000.
综上,m为完全平方数当且仅当n = 2000.

试证:有且仅有一个正整数n,使得2^1999+2^2000+2^2001+2^1994+2^n为完全平方数并求n的值 1.已知仅有一个自然数n使得 2^8+2^11+2^n 为完全平方数,则n=? 求最大正整数N,使得2^50+4^1015+16^N是一个完全平方数. n为正整数,n^2+(n+1)^2是一个完全平方数,求n的值设n是一个正整数,且1*2*3*...*n+3是一个完全平方数,求n的值. 求所有的正整数,使得n^4-4n^3+22n^2-36n+18是一个完全平方数 2的n次幂+256是完全平方数（n为正整数）求n 已知n为正整数,且2的平方加2的n次方加2的1998次方是一个完全平方数,则n的值是已知n为正整数,且2^2+2^n+2^1998是一个完全平方数,则n的值为? 已知n为正整数，且22+2n+22014是一个完全平方数，则n的值为 ___ ． 1、已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数,是否存在n,使得5n+3是质数?如果存在,请求出所有n的值；如果已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数．是否存在n，使得5n+3是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存