近世代数 扩域已知√2,i是有理数域Q上的两个代数元,求(Q (√2,i) :Q),即Q (√2,i)在有理数域Q上的扩
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/29 12:21:04
近世代数 扩域
已知√2,i是有理数域Q上的两个代数元,求(Q (√2,i) :Q),即Q (√2,i)在有理数域Q上的扩域次数.
已知√2,i是有理数域Q上的两个代数元,求(Q (√2,i) :Q),即Q (√2,i)在有理数域Q上的扩域次数.
首先,不难证明[Q(√2):Q] = 2.
而[Q(√2,i):Q] = [Q(√2,i):Q(√2)]·[Q(√2):Q].
只需求出[Q(√2,i):Q(√2)].
由i不属于Q(√2), [Q(√2,i):Q(√2)] > 1.
又由i是Q(√2)上的2次多项式x²+1的根,故[Q(√2,i):Q(√2)] ≤ 2.
于是只有[Q(√2,i):Q(√2)] = 2.
从而得[Q(√2,i):Q] = 4.
上面用到了两个结论:
若K/F与L/K都是有限扩张,则[L:F] = [L:K]·[K:F].
若F上的代数元a是F[x]中n次多项式的根,则[F(a):F] ≤ n.
而[Q(√2,i):Q] = [Q(√2,i):Q(√2)]·[Q(√2):Q].
只需求出[Q(√2,i):Q(√2)].
由i不属于Q(√2), [Q(√2,i):Q(√2)] > 1.
又由i是Q(√2)上的2次多项式x²+1的根,故[Q(√2,i):Q(√2)] ≤ 2.
于是只有[Q(√2,i):Q(√2)] = 2.
从而得[Q(√2,i):Q] = 4.
上面用到了两个结论:
若K/F与L/K都是有限扩张,则[L:F] = [L:K]·[K:F].
若F上的代数元a是F[x]中n次多项式的根,则[F(a):F] ≤ n.
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