泰勒公式中为啥f(x)-pn(x)/(x-x0)∧n的极限等于0就说明有n+1阶导数?
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 22:35:07
泰勒公式中为啥f(x)-pn(x)/(x-x0)∧n的极限等于0就说明有n+1阶导数?
额 再答: 结论是可以。不过,如果f(x)只有n阶导数,那么余项只能写成o[(x-x0)ⁿ],而不能写成拉格朗日余项了。这个教材里有介绍(同济大学第6版上册142页最下方的小字),具体证明就不需要掌握了。 希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮。 追问其实我很想知道是如何证明的 回答以前从没考虑过这个证明,刚才试着证了一下: 下面用f^(n-1)(x)表示f(x)的n-1阶导数 设f(x)在x=x0处具有n阶导数(因此f(x)在x0的邻域内具有n-1阶导数),P(x)为f(x)在x=x0处的n级泰勒多项式,下面证明:lim[x→x0] [f(x)-P(x)]/(x-x0)ⁿ=0 证明:由于f(x)在x0的邻域内具有n-1阶导数,则该极限可使用n-1次洛必达法则 分母:(x-x0)ⁿ求完n-1阶导数为:n!(x-x0) 分子:p(x)的n-1阶导数为:f^(n-1)(x0)+f^(n)(x0)(x-x0) 因此原极限化为: lim[x→x0] [f^(n-1)(x)-f^(n-1)(x0)-f^(n)(x0)(x-x0)]/(x-x0) =lim[x→x0] [f^(n-1)(x)-f^(n-1)(x0)]/(x-x0) - f^(n)(x0) 前面这个极限刚好是x=x0处的n阶导数定义 =f^(n)(x0) - f^(n)(x0) =0 因此f(x)-P(x)是(x-x0)ⁿ的高阶无穷小。 请采纳。
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