58．（甘肃省兰州市）如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,点C在第一象限．动

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 06:08:34

58．（甘肃省兰州市）如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,点C在第一象限．动
58．（甘肃省兰州市）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

（1）根据题意,易得Q（1,0）,结合P、Q得运动方向、轨迹,分析可得答案；
（2）过点B作BF⊥y轴于点F,BE⊥x轴于点E,则BF=8,OF=BE=4,在Rt△AFB中,过点C作CG⊥x轴于点G,与FB的延长线交于点H,易得△ABF≌△BCH,进而可得C得坐标；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥x轴于点N,易得△APM∽△ABF,根据相似三角形得性质,有 APAB=AMAF=MPBF,设△OPQ的面积为S,计算可得答案
（1）根据题意,易得Q（1,0）,
点P运动速度每秒钟1个单位长度．
（2）过点B作BF⊥y轴于点F,BE⊥x轴于点E,则BF=8,OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中,
过点C作CG⊥x轴于点G,与FB的延长线交于点H．
∵∠ABC=90°,AB=BC∴△ABF≌△BCH．
∴BH=AF=6,CH=BF=8．
∴OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12．
∴所求C点的坐标为（14,12）．
（3）过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥x轴于点N,
则△APM∽△ABF．
∴ APAB=AMAF=MPBF．∴ t10=AM6=MP8．∴ AM=35t,PM=45t．
∴ PN=OM=10-35t,ON=PM=45t．
设△OPQ的面积为S（平方单位）
∴ S=12×(10-35t)(1+t)=5+4710t-310t2（0≤t≤10）
∵ a=-310＜0
∴当t= 47102×(-310)=476时,△OPQ的面积最大此时P的坐标为（ 9415,310）．