大师作文网第18届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试答案分析
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 07:46:03
第18届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试答案分析
要分析!
要分析!
答案：
一、 选择题（每小题4分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C C C D C B D
二、 填空题（每小题4分；两个空的小题,每个空2分.）
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案
三
2557
18 67；9；80；9
98 ；1.22
2
三．解答题
21．假设这2007个点都不在直线L上,由于其中每个点 （i＝1,2,……,2007）关于直线L的对称点 仍在这2007个点中,所以 不在直线L上.
也就是说,不在直线L上点 （i＝1,2,……,2007）与 关于直线L对称的点 成对出现,即平面上标出的点的总数应是偶数个,与点的总数2007相矛盾!
因此,“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立,即这2007个点中至少有1个点在直线L上.
22．设哥哥的速度是 米/秒,小明的速度是 米/秒.环形跑道长s米.
（1）由“经过25分钟哥哥追上小明,并且比小明多跑了20圈”,知
经过 分钟哥哥追上小明,并且比小明多跑了1圈.所以
整理,得,
所以, .
(2)根据题意,得
即 解得,
故经过了25分钟小明跑了
（2）另解 由 ,知小明每跑1圈,哥哥就比小明多跑1圈,所以当哥哥比小明多跑20圈时,小明也跑了20圈.
23．由条件1＋3n≤2007得
n≤668,n是正整数.
设1＋5n＝ （m是正整数）,则
,这是正整数.
故可设m＋1＝5k,或m-1=5k（k是正整数）
○1当m+1=5k是, ,由
,得,k≤11
当k=12时, ＞668.
所以,此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数；
○2当m－1＝5k时, ,
又 ＜ ,且当k＝11时 ＜668,
所以,此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数.
因此,满足1＋3n≤2007且使1＋5n使完全平方数的正整数n共有22个.
一、 选择题（每小题4分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C C C D C B D
二、 填空题（每小题4分；两个空的小题,每个空2分.）
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案
三
2557
18 67；9；80；9
98 ；1.22
2
三．解答题
21．假设这2007个点都不在直线L上,由于其中每个点 （i＝1,2,……,2007）关于直线L的对称点 仍在这2007个点中,所以 不在直线L上.
也就是说,不在直线L上点 （i＝1,2,……,2007）与 关于直线L对称的点 成对出现,即平面上标出的点的总数应是偶数个,与点的总数2007相矛盾!
因此,“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立,即这2007个点中至少有1个点在直线L上.
22．设哥哥的速度是 米/秒,小明的速度是 米/秒.环形跑道长s米.
（1）由“经过25分钟哥哥追上小明,并且比小明多跑了20圈”,知
经过 分钟哥哥追上小明,并且比小明多跑了1圈.所以
整理,得,
所以, .
(2)根据题意,得
即 解得,
故经过了25分钟小明跑了
（2）另解 由 ,知小明每跑1圈,哥哥就比小明多跑1圈,所以当哥哥比小明多跑20圈时,小明也跑了20圈.
23．由条件1＋3n≤2007得
n≤668,n是正整数.
设1＋5n＝ （m是正整数）,则
,这是正整数.
故可设m＋1＝5k,或m-1=5k（k是正整数）
○1当m+1=5k是, ,由
,得,k≤11
当k=12时, ＞668.
所以,此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数；
○2当m－1＝5k时, ,
又 ＜ ,且当k＝11时 ＜668,
所以,此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数.
因此,满足1＋3n≤2007且使1＋5n使完全平方数的正整数n共有22个.
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