已知函数f(x)=(a-1/2)x²+ln x.(a∈R)(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/11 23:20:59
已知函数f(x)=(a-1/2)x²+ln x.(a∈R)(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)求f(x)的极值
(2)求f(x)的极值
【第一题】
设x1,x2∈[1,e],且满足x2>x1,
而a=1
则,f(x2) - f(x1) = (1-1/2)[(x2)² - (x1)² ] + (ln x2 -ln x1)
= (1/2)(x2+ x1)(x2 - x1) + ln (x2 /x1)
根据对数函数y=lnx的性质可知,原函数f(x)的定义域为 x>0
即,x2>x1>0,即x2 /x1>1
∴(x2+ x1)(x2 - x1)>0,ln(x2 /x1)>ln1>0
∴ f(x2) - f(x1)= (1/2)(x2+ x1)(x2 - x1) + ln (x2 /x1)>0
即,f(x2) > f(x1)
∴f(x)在区间[1,e]上单调递增,
而,f(1) = (1/2)*1 + ln1 = 1/2 ,f(e)= (1/2)*e² + lne = (1/2)e² + 1
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(e) =(1/2)e² + 1,最小值为 f(1) = 1/2
【第二题】
由原函数f(x)得,导函数f'(x) = 2(a-1/2)x + (1/x),其中 a∈R,x>0
化简得,f'(x) = (1/x)【(2a-1)x² + 1】
令 f'(x) = 0,
化简得,x² = 1 /(1 -2a)
①假设1 - 2a>0,即a<1/2,方程f'(x) = 0的解是 x=1/√(1-2a)
代入原函数,f[1/√(1-2a)] = (a-1/2)/(1-2a)+ ln[1/√(1-2a)] = - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a)
当x>1/√(1-2a)时,x² >1 /(1 -2a) ∴(2a-1)x² + 1>0,
又1/x>0 ∴f'(x)>0
即,x>1/√(1-2a)时,原函数f(x)单调递增.
同理,当0<x<1/√(1-2a)时,(2a-1)x² + 1<0,1/x>0,则f'(x)<0
即,x<1/√(1-2a)时,原函数f(x)单调递减.
∴a<1/2时,原函数f(x)在 x = 1/√(1-2a) 处取得最小值 - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a)
②假设1 - 2a = 0,即a=1/2,则方程f'(x) = 0的解是 x=0,但这与x>0矛盾,故f'(x) ≠ 0
即,原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值.
③假设1 - 2a < 0,即a>1/2,则方程f'(x) = 0无实解,即f'(x) ≠ 0
换言之,
a>1/2时,原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值.
综上所述,当a<1/2时,原函数f(x)在x=1/√(1-2a)时取得最小值 - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a),
当a ≥ 1/2时,原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值.
设x1,x2∈[1,e],且满足x2>x1,
而a=1
则,f(x2) - f(x1) = (1-1/2)[(x2)² - (x1)² ] + (ln x2 -ln x1)
= (1/2)(x2+ x1)(x2 - x1) + ln (x2 /x1)
根据对数函数y=lnx的性质可知,原函数f(x)的定义域为 x>0
即,x2>x1>0,即x2 /x1>1
∴(x2+ x1)(x2 - x1)>0,ln(x2 /x1)>ln1>0
∴ f(x2) - f(x1)= (1/2)(x2+ x1)(x2 - x1) + ln (x2 /x1)>0
即,f(x2) > f(x1)
∴f(x)在区间[1,e]上单调递增,
而,f(1) = (1/2)*1 + ln1 = 1/2 ,f(e)= (1/2)*e² + lne = (1/2)e² + 1
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(e) =(1/2)e² + 1,最小值为 f(1) = 1/2
【第二题】
由原函数f(x)得,导函数f'(x) = 2(a-1/2)x + (1/x),其中 a∈R,x>0
化简得,f'(x) = (1/x)【(2a-1)x² + 1】
令 f'(x) = 0,
化简得,x² = 1 /(1 -2a)
①假设1 - 2a>0,即a<1/2,方程f'(x) = 0的解是 x=1/√(1-2a)
代入原函数,f[1/√(1-2a)] = (a-1/2)/(1-2a)+ ln[1/√(1-2a)] = - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a)
当x>1/√(1-2a)时,x² >1 /(1 -2a) ∴(2a-1)x² + 1>0,
又1/x>0 ∴f'(x)>0
即,x>1/√(1-2a)时,原函数f(x)单调递增.
同理,当0<x<1/√(1-2a)时,(2a-1)x² + 1<0,1/x>0,则f'(x)<0
即,x<1/√(1-2a)时,原函数f(x)单调递减.
∴a<1/2时,原函数f(x)在 x = 1/√(1-2a) 处取得最小值 - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a)
②假设1 - 2a = 0,即a=1/2,则方程f'(x) = 0的解是 x=0,但这与x>0矛盾,故f'(x) ≠ 0
即,原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值.
③假设1 - 2a < 0,即a>1/2,则方程f'(x) = 0无实解,即f'(x) ≠ 0
换言之,
a>1/2时,原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值.
综上所述,当a<1/2时,原函数f(x)在x=1/√(1-2a)时取得最小值 - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a),
当a ≥ 1/2时,原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值.
已知函数f(x)=(a-1/2)x²+ln x.(a∈R)(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大
已知函数f(x)=(a-1/2)x²+lnx(a∈R).(1)当a=1,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大
函数求导题已知函数f(x)=ln(2-x)+ax当a>0时,求函数f(x)在区间【0,1】上的最大值
已知函数f(x)=(x2+ax+a)e^-x(x∈R) (Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
已知函数f(x)=ln(x-1)+2a除以x(a∈R)(1)求f(x)的单调区间
已知a∈R,函数f(x)=a/x+lnx-1,求f(x)在区间(0,e]上的最小值
已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
已知函数f(x)=ln(x+1)+ax^2-x,a属于R,当a=1/4时,求函数f(x)的极值
已知函数F(x)=x2+2x+alnx(a€R) 1,当a=-4,求F(x)的最小值 2.若F(x)在区间(
已知函数f(x)=x-1/2axˆ2-ln(1+x),其中a∈R (1)求f(x)的单调区间.
已知a>0,函数f(x)=x|x-a|+1,x属于R 1.当a属于(0,3)时,求函数y=f(x)在闭区间1,2上的最小
已知函数f(x)=(x²-2ax+a²)lnx a∈R,1)当a=0时,求f(x)单调区间